Examen PAU Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2025 Extraordinaria — Andalucía

El nivel de concentración de un alumno universitario durante un examen viene dado por la siguiente función: $f(t)=\begin{cases}-t^2+2t+10&0\le t\le2{,}5\\t^2+at+b&2{,}5<t\le5\end{cases}$ donde $t$ es el tiempo en horas y $a$ y $b$ números reales. a) [1,25 puntos] ¿Con qué nivel de concentración comienza el alumno el examen? Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua y derivable en $t=2{,}5$. b) [1,25 puntos] Para $a=-8$ y $b=22{,}5$, esboce la gráfica de la función $f$, estudiando previamente la monotonía y calculando en qué momentos se alcanzan los niveles máximo y mínimo de concentración.

Un nuevo servicio de streaming utiliza un algoritmo para recomendar películas a sus usuarios en función de las películas vistas anteriormente. Como la plataforma es de reciente creación, solo tiene disponibles tres géneros: ciencia ficción, terror y musicales. El $62\,\%$ de las películas disponibles son de ciencia ficción, la cuarta parte son de terror y el resto musicales. De las películas de ciencia ficción, el algoritmo hace una recomendación correcta en el $70\,\%$ de las ocasiones, de las de terror, el $75\,\%$ de las veces y de los musicales, el $15\,\%$. Un usuario selecciona al azar una película de su lista de recomendaciones: a) [1,25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta? b) [0,75 puntos] Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror? c) [0,5 puntos] De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda satisfecho con la elección de la película en el $55\,\%$ de las ocasiones. ¿Qué probabilidad hay de que la película sea ciencia ficción, esté recomendada correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?