Programación lineal: ejercicios de selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Andalucía)

EJERCICIO 1 (Opción B) (3 puntos) Una empresa maderera fabrica tableros de dos tipos, DM y aglomerado, a partir de madera triturada. Para producir 1 $m^{2}$ de tablero DM se consumen 10 $m^{3}$ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 10€. Para producir 1 $m^{2}$ de tablero aglomerado se consumen 30 $m^{3}$ de madera triturada y se obtiene un beneficio de 20€. La empresa puede fabricar diariamente como máximo 12 $m^{2}$ de tableros DM y 18 $m^{2}$ de tableros de aglomerado. Además, la capacidad total de la empresa limita la producción conjunta a 26 $m^{2}$ diarios y dispone de 600 $m^{3}$ de madera triturada al día. Determine cuántos metros cuadrados de cada tipo de tablero deben producirse diariamente para maximizar el beneficio total y calcule cuál es ese beneficio.

Una empresa de catering dispone semanalmente de 58 horas de cocina, 50 horas de empaquetado y $60\,dm^3$ de almacenamiento en cámaras frigoríficas para elaborar dos tipos de menús: premium y estándar. Ambos menús requieren tiempo, tanto de preparación como de empaquetado, y espacio de almacenamiento en frigoríficos. Concretamente, el menú premium requiere de 2 horas de cocina, 2 horas de empaquetado y ocupa $1\,dm^3$ en frigoríficos. Por su parte, el menú estándar requiere de 3 horas de cocina, 1 hora de empaquetado y ocupa $4\,dm^3$ en frigoríficos. El beneficio obtenido por cada menú premium es de $10{,}50\,€$ y por cada menú estándar es de $5{,}50\,€$. La empresa sabe que venderá todos los menús producidos. Determine cuántos menús de cada tipo deben elaborarse semanalmente para maximizar el beneficio total y a cuánto asciende este beneficio. [2,5 puntos]

Un agricultor posee una finca con un olivar intensivo de secano y desea transformar una parte de la misma en regadío, pero manteniendo un mínimo de 20 hectáreas de cultivo de secano. Para ello, anualmente dispone de 30000 $m^{3}$ de agua, de 5500 kg de abono y de 3000 kg de productos fitosanitarios. Cada hectárea de olivar de regadío necesita 1500 $m^{3}$ de agua, 110 kg de abono y 80 kg de productos fitosanitarios; mientras que cada hectárea de olivar de secano precisa de 100 kg de abono y 50 kg de productos fitosanitarios. Se sabe que la producción anual por hectárea es de 5000 kg en secano y de 10000 kg en regadío. Determine el número de hectáreas de olivar de secano y de regadío que el agricultor debe cultivar para maximizar su producción, así como la producción máxima esperada.

Sean la función $F(x,y)=5x-3y$ y la región del plano $R$ definida por las inecuaciones $2x-3y\le 1$; $4x+y\le 9$; $x+y\le 5$; $9x-y\ge 0$; $y\ge 0$. a) Dibuje la región $R$ y calcule sus vértices. [1,3 puntos] b) Indique razonadamente si los puntos $A(2,2)$ y $B(1,3.5)$ pertenecen a la región $R$. [0,5 puntos] c) Obtenga los puntos de la región $R$ donde $F$ alcanza el máximo y el mínimo, y calcule los valores correspondientes. [0,7 puntos]