Álgebra lineal: ejercicios de selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Andalucía)

EJERCICIO 1 (Opción A). En un festival de cine con tres sesiones se venden tres tipos de entradas: Estándar, Premium y VIP. En la sesión inaugural se vendieron 5 entradas Premium, 20 Estándar y 20 VIP, obteniéndose una recaudación de 1800€. En la sesión nocturna se vendieron 10 VIP, 10 Estándar y 5 Premium, recaudándose 1000€. El día de la proyección de clausura, el número de entradas Premium superó en 4 al resto de entradas, que fueron 12 VIP y 4 Estándar, arrojando una recaudación de 1560€. a) (2.25 puntos) Calcule el precio de cada tipo de entrada y la recaudación total obtenida. b) (0.75 puntos) Determine el tipo de entrada con la que se obtuvo una mayor recaudación y el valor de dicha recaudación.

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}2&m&0\\-1&m&2\\0&m&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ a) (0.75 puntos) Calcule los valores de $m$ para que el rango de la matriz $A$ sea $3$. b) (1.75 puntos) Para $m=1$, resuelva la ecuación matricial $A^{t}\cdot X-B^{2}=2\cdot X$. c) (0.5 puntos) ¿Es posible encontrar una matriz $D$ que satisfaga $C^{t}\cdot A=B\cdot D$?

a) (1.75 puntos) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor. b) (0.75 puntos) Sea $A=\begin{pmatrix}-2&2&1\\3&a-1&2\\4&0&3\end{pmatrix}$. ¿Para qué valores de $a$ es la matriz $A$ invertible?

Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&1&2\\2&2&2\end{pmatrix}$. a) [1,75 puntos] Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales: $(A+I_3)\cdot X+Y=A-I_3$, $\ X-Y=I_3$. b) [0,75 puntos] Halle el rango de las matrices $A+I_3$ y $A-I_3$. ¿Son matrices invertibles?

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\a-3&a-1&1\\0&2&a\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}-1&3&2\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}-2&1&4\end{pmatrix}$, siendo $a$ un número real. a) (0.75 puntos) Obtenga los valores de $a$ para los que la matriz $A$ tenga inversa. b) (1.25 puntos) Para $a=1$, resuelva la ecuación $X\cdot A-B=C\cdot A$. c) (0.5 puntos) Determine razonadamente la dimensión de la matriz $D$ que permita realizar la operación $B\cdot A+D\cdot C^{t}\cdot B$.

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}a&1&0\\0&a&2\\0&1&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&-1\\a&-1\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}2&-1\\1&-1\\2&0\end{pmatrix}$. a) Calcule los valores del parámetro $a$ para los que tanto $A$ como $B$ admiten inversa. [1 punto] b) Para $a=1$, halle una matriz $X$ que satisfaga $A\cdot X\cdot B=C$. [1,5 puntos]