Estadística: exercicis de selectivitat de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials (Catalunya)

Fa uns anys una granja de vaques frisones dedicada a la producció de llet va fer un estudi sobre el pes de les seves vaques i va arribar a la conclusió que aquesta variable seguia una distribució normal amb una mitjana de 580 kg i una desviació típica de 25 kg. Fórmules per a resoldre l'exercici: • Z ~ normal (0, 1) → P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(−2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1): — per a la proporció (mostres grans): [ p̂ − z_γ·√(p̂(1−p̂)/n) , p̂ + z_γ·√(p̂(1−p̂)/n) ] — per a la mitjana (mostres normals amb la variància σ² coneguda): [ x̄ − z_γ·σ/√n , x̄ + z_γ·σ/√n ] — per a la mitjana (mostres grans amb la variància σ² desconeguda): [ x̄ − z_γ·s/√n , x̄ + z_γ·s/√n ]

Una empresa d'autobusos afirma que fa el trajecte entre l'aeroport i el centre de la ciutat en 30 minuts. S'ha obtingut una mostra del temps, en minuts, en 10 trajectes escollits a l'atzar: 33, 29, 28, 31, 34, 35, 32, 29, 37, 35.

Es vol saber el temps mitjà, en minuts, que l'alumnat d'un institut passa diàriament connectat a una xarxa social determinada. S'ha seleccionat una mostra de 175 estudiants i se'ls ha demanat aquesta dada. En aquesta mostra s'ha obtingut una mitjana de 90 minuts, amb una desviació típica de 7 minuts. Nota: Per a resoldre aquest problema, recordeu que, si $Z$ segueix una distribució normal $(0,1)$, $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le 2{,}58)=0{,}99$. Recordeu també que l'interval de confiança per a la mitjana amb un nivell de confiança $\gamma\in(0,1)$ quan la variància $\sigma^2$ és desconeguda i la mostra és gran és donat per $\left[\bar{x}-z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}},\ \bar{x}+z_{\gamma}\dfrac{s}{\sqrt{n}}\right]$.

Volem saber el percentatge de persones que estarien a favor de la construcció d'un poliesportiu municipal. Prenem una mostra aleatòria de 350 persones, 218 de les quals es manifesten a favor de la proposta i la resta, en contra.