Anàlisi: exercicis de selectivitat de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials (Catalunya)

Una empresa comercialitza un accessori tecnològic. Segons diversos estudis de mercat, la relació entre el preu de venda $p$ (en euros) i la quantitat demanada setmanal $d(p)$ (en unitats) és donada per la funció $d(p)=500-10p-p^2$, $0<p<15$. Es defineix també l'ingrés setmanal de l'empresa com a $I(p)=p\cdot d(p)$. 1.1. Determineu el preu $p$ que maximitza l'ingrés setmanal $I(p)$. A aquest preu, calculeu la quantitat demanada setmanal corresponent i el valor de l'ingrés màxim. [1,5 punts] 1.2. El concepte de l'elasticitat de la demanda respecte al preu mesura la sensibilitat de la quantitat demanada davant dels canvis relatius en el preu. Per a funcions derivables, l'elasticitat de la demanda respecte al preu és donada per l'expressió $E(p)=\dfrac{p}{d(p)}\,d'(p)$, en què $d'(p)$ denota la derivada de la funció $d(p)$. Calculeu l'expressió de l'elasticitat de la demanda respecte al preu $E(p)$ i determineu-ne el valor per a un preu de $5\,€$ i per a un preu de $10\,€$. [1 punt]

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques (tallers per a famílies, xerrades en escoles i instituts i seminaris en línia). OPCIÓ B. 4.1. Per estudiar l'efecte d'una campanya de promoció dels tallers familiars d'aquest curs, els tres amics modelitzen el nombre de famílies inscrites mitjançant la funció $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$, en què $t$ representa el nombre de dies des de l'inici de la campanya i $f(t)$ correspon al nombre de famílies inscrites aquell dia. Hi ha algun dia en què el nombre de famílies inscrites sigui exactament 20? En cas afirmatiu, indiqueu quin. Quin dia s'assoleix el nombre màxim de famílies inscrites? Quin és aquest nombre màxim? [1,5 punts] 4.2. Els tres amics també volen analitzar com es reparteixen entre ells la feina de preparació de les activitats. Per fer-ho, revisen com s'han organitzat durant una setmana concreta. En total, en aquest període han dedicat 24 hores a la preparació de tallers familiars, 21 hores a la preparació de xerrades en centres educatius i 15 hores a la preparació de seminaris en línia. La distribució de la feina de preparació de cadascun dels tres tipus d'activitats és la següent: la Carme s'encarrega del $50\,\%$ de la preparació dels tallers familiars, del $30\,\%$ de les xerrades i del $20\,\%$ dels seminaris; el Saïd, del $30\,\%$ dels tallers, del $50\,\%$ de les xerrades i del $20\,\%$ dels seminaris; el Martí, del $20\,\%$ dels tallers, del $20\,\%$ de les xerrades i del $60\,\%$ dels seminaris. Agrupem aquesta informació en les matrius $R=\begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\0{,}30&0{,}50&0{,}20\\0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ i $h=\begin{pmatrix}24\\21\\15\end{pmatrix}$, que corresponen a la matriu de repartiment percentual i al vector d'hores totals dedicades a la preparació de cada tipus d'activitat, respectivament. Calculeu el vector $R\cdot h$ i interpreteu-ne el significat. Quin dels tres amics ha dedicat més hores a la preparació d'activitats? [1 punt]

En una localitat costanera han obert un nou local d'oci nocturn amb diverses pistes de ball i zones de descans. Per a accedir-hi, cal comprar una entrada que inclou una consumició. Després d'unes quantes setmanes, els propietaris s'han adonat que si el preu de l'entrada és de $15\,€$, l'afluència és de 180 clients. També s'han adonat que la relació entre el preu de l'entrada i el nombre de clients és lineal, de manera que per cada euro de més en el preu de l'entrada perden 20 clients. L'aforament del local és de 320 persones. 3.1. Comproveu que el nombre de persones que entren al local en funció del preu és donat per la funció $f(x)=480-20x$. A partir de quin preu cal vendre l'entrada per a aconseguir omplir el local? A quin preu no hi anirà ningú? [0,75 punts] 3.2. Trobeu una funció que determini els ingressos obtinguts amb les entrades en funció del preu de l'entrada. Quins són els ingressos quan el preu de l'entrada és de $15\,€$? I quan és de $18\,€$? [0,75 punts] 3.3. A quin preu cal posar l'entrada per a obtenir el màxim d'ingressos? Quins són aquests ingressos? [1 punt]

A en Bernat l'han contractat com a gerent d'una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó. OPCIÓ B. 4.1. Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que expressa el benefici, en milers d'euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$, en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d'unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\frac25x^2+2x$. L'empresa fabricarà el nombre de paraigües de cada tipus que maximitzi la seva funció de beneficis. Amb quin dels dos productes es necessita una menor quantitat de paraigües per a assolir el màxim de beneficis? Amb quin dels dos productes s'obtenen més beneficis? [1,25 punts] 4.2. Un dia arriben a l'empresa dos lots de paraigües bastó que havia encarregat el gerent anterior per analitzar dues maneres diferents de tractar la tela impermeable: mitjançant la impregnació amb un nou producte químic o mitjançant un recobriment de tefló. Entre els dos lots, hi ha 60 paraigües amb la tela coberta de tefló i 80 paraigües impermeabilitzats amb el mètode d'impregnació. Sabem que un $98\,\%$ dels paraigües amb recobriment de tefló aguanten bé la pluja, però només el $95\,\%$ dels que han rebut el tractament d'impregnació l'aguanten bé. En sortir de la feina, cau un xàfec sobtat i en Bernat agafa un dels nous paraigües, però té la mala sort que és un dels defectuosos i queda ben xop. Quina és la probabilitat que el paraigua que ha agafat sigui dels que estan recoberts de tefló? [1,25 punts]

Un agricultor ha observat que si es planten 25 pereres per hectàrea, el rendiment és de 370 peres per arbre. La relació entre el nombre de peres per arbre i el nombre de pereres per hectàrea és lineal: per cada arbre plantat de més per hectàrea, el rendiment disminueix en 10 peres per perera.

OPCIÓ A. Una empresa fabrica cotxes elèctrics i de combustió en tres línies (L1, L2, L3): L1 té 20 elèctrics i 80 de combustió; L2, 30 i 100; L3, 40 i 110. El preu de venda és 40.000 € (elèctric) i 30.000 € (combustió). El cost de manteniment per cada 100 km és 1 € (elèctric) i 6 € (combustió). El 2% dels vehicles de combustió i l'1% dels elèctrics surten defectuosos.

Un inversor té diners invertits en un fons d'inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció $f(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-\dfrac{35x^{2}}{2}+300x+250$, en què $x\in[0,24]$ representa el temps en hores.

Els beneficis o pèrdues diaris d'una nova empresa durant el primer any de funcionament venen donats per la funció $B(x)=-x^{2}+260x-12000$, en què $x$ representa el dia des de l'inici de l'activitat de l'empresa.

L'Ona vol construir una capsa de cartró de base quadrada i oberta (sense tapa), amb un volum de 4 litres, per a posar-hi retoladors i colors.

Una empresa de paqueteria té unes tarifes d'enviaments de paquets que depenen del pes de cada paquet, tot i que no de manera lineal. Volem enviar un paquet a una distància aproximada de 650 km. La informació que ofereix l'empresa al seu web sobre els preus per a enviar un paquet a aquesta distància és la següent: — si un paquet pesa fins a 2 kg, l'enviament té un cost fix de 30 €; — si un paquet pesa més de 2 kg però menys d'11 kg, els primers 2 kg costen 15 €/kg i la resta de kilograms es paguen a 12 €/kg; — si un paquet pesa entre 11 i 25 kg, ambdós inclosos, els primers 11 kg costen 13 €/kg i la resta costen 15 €/kg; — a partir de 25 kg, cal posar-se en contacte amb l'empresa.

Una empresa de lloguer de vehicles disposa d'una flota de 250 vehicles. Si el preu del lloguer diari d'un vehicle és de 50 €, aconsegueix llogar-los tots. S'ha observat que la relació entre el preu del lloguer dels vehicles i el nombre de vehicles que es lloguen és lineal, de manera que per cada euro que s'incrementa el preu diari del lloguer es lloguen dos vehicles menys. Cada vehicle llogat genera un cost diari d'1 € de manteniment.

Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4 € per kilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció $g(x)=0,01x^{2}+0,1x+10$, en què $x$ representa el nombre de kilòmetres recorreguts.

Una pagesa contracta un conductor perquè porti un tractor fins a un poble que es troba a 300 km de distància. Sabem que el gasoil que fa servir el tractor costa 1,96 € per litre i que el conductor cobra 14,70 € l'hora. Suposem que el conductor farà tot el trajecte a una velocitat constant i que el consum de gasoil (en litres per hora), en funció de la velocitat $x$ (en quilòmetres per hora), és donat per la funció $G(x)=5+\dfrac{x^{2}}{98}$.

Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d'èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000 €. Fabricar un cert nombre de cotxes suposa unes despeses de $C(x)=x^{2}+34880x+1100$ euros, en què $x$ representa el nombre de vehicles fabricats.

El nombre de noves persones infectades per una malaltia, en milers, ve donat per la funció $f(t)=\dfrac{30t}{t^{2}-2t+4}$, $t\geq0$, en què $t$ representa el temps transcorregut, en setmanes, des que es va iniciar la infecció.

Una botiga ven un tipus determinat d'ampolla d'aigua a 70 cèntims. Aquesta setmana fa una oferta de 4×3 (comprem quatre ampolles i només en paguem tres). La setmana vinent l'oferta de 4×3 ja no serà vigent, però la botiga aplicarà un 20% de descompte sobre el total de la compra.

Una companyia aèria estableix el preu d'un vol entre Barcelona i Islàndia a 500 €. Té capacitat per a 300 passatgers diaris, però en una determinada època de l'any només ven 180 bitllets. Un estudi de mercat mostra que la relació entre el preu del bitllet i el nombre de passatgers és lineal: per cada 5 € de descompte en el preu del bitllet, la companyia aconsegueix 2 passatgers més.

El nombre de kilograms de menjar gastats en un alberg d'animals durant una setmana concreta es pot calcular mitjançant la funció $f(t)=10\left(-\dfrac{t^{3}}{8}+\dfrac{3t^{2}}{2}-\dfrac{9t}{2}+10\right)$, en què $t$ és el temps en dies i va des del dia $t=1$ (dilluns) fins al dia $t=8$ (dilluns de la setmana següent).

Quan es dissenyen els esglaons d'una escala hi ha diversos paràmetres a tenir en compte, dos dels quals són la petja (la part horitzontal, on es posa el peu) i la contrapetja (la part vertical, és a dir, l'alçària). L'arquitecte francès François Blondel va establir a finals del segle XVII que la relació ideal entre aquestes dues magnituds era que la suma de dues contrapetges més una petja fos igual a 64 cm. Anomenem y la longitud de la contrapetja i x la longitud de la petja.