Examen selectivitat Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026 Juny (Sèrie 5) — Catalunya

A en Bernat l'han contractat com a gerent d'una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó. OPCIÓ A. 4.1. Fent una anàlisi econòmica del darrer exercici, en Bernat ha descobert que l'empresa va tenir uns ingressos totals de $42\,500\,€$ per la venda de paraigües. Tot i això, no hi ha cap document que indiqui quants paraigües de cada tipus es van vendre; només que el preu de venda de cada paraigua plegable era de $25\,€$ i el del paraigua bastó era de $15\,€$. Regirant entre la documentació, també ha trobat que es va fer servir un total de $2\,375\,\mathrm{m}^2$ de tela impermeable. Per a fabricar un paraigua plegable, es necessita $1\,\mathrm{m}^2$ d'aquesta tela, mentre que per a un paraigua bastó se'n necessiten $1{,}5\,\mathrm{m}^2$. Sabent que no va quedar cap paraigua al magatzem en finalitzar la temporada, quants paraigües de cada model es van vendre? [1,25 punts] 4.2. Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que determina el benefici, en milers d'euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$, en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d'unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\frac25x^2+2x$. Quins beneficis s'obtindran en total si es fabriquen 100 paraigües de cada tipus? Per a cada model de paraigua, calculeu entre quins valors ha d'estar compresa la variable $x$ perquè l'empresa no tingui pèrdues. [1,25 punts]

A en Bernat l'han contractat com a gerent d'una empresa que fabrica paraigües després que el gerent anterior fos acomiadat per no guardar convenientment la documentació. Aquesta empresa fabrica dos models de paraigües: paraigües plegables i paraigües bastó. OPCIÓ B. 4.1. Tenint en compte el cost de fabricar i emmagatzemar els paraigües plegables, la funció que expressa el benefici, en milers d'euros, que resulta de fabricar aquest producte és $p(x)=x(3-x)$, en què $x$ representa el nombre de paraigües fabricats, en centenars d'unitats. Considerant els mateixos factors, la funció de benefici dels paraigües bastó és $b(x)=-\frac25x^2+2x$. L'empresa fabricarà el nombre de paraigües de cada tipus que maximitzi la seva funció de beneficis. Amb quin dels dos productes es necessita una menor quantitat de paraigües per a assolir el màxim de beneficis? Amb quin dels dos productes s'obtenen més beneficis? [1,25 punts] 4.2. Un dia arriben a l'empresa dos lots de paraigües bastó que havia encarregat el gerent anterior per analitzar dues maneres diferents de tractar la tela impermeable: mitjançant la impregnació amb un nou producte químic o mitjançant un recobriment de tefló. Entre els dos lots, hi ha 60 paraigües amb la tela coberta de tefló i 80 paraigües impermeabilitzats amb el mètode d'impregnació. Sabem que un $98\,\%$ dels paraigües amb recobriment de tefló aguanten bé la pluja, però només el $95\,\%$ dels que han rebut el tractament d'impregnació l'aguanten bé. En sortir de la feina, cau un xàfec sobtat i en Bernat agafa un dels nous paraigües, però té la mala sort que és un dels defectuosos i queda ben xop. Quina és la probabilitat que el paraigua que ha agafat sigui dels que estan recoberts de tefló? [1,25 punts]