Examen selectivitat Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2026 Setembre (Sèrie 2) — Catalunya

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d'arreu del país, i imparteixen seminaris en línia. El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d'activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són. OPCIÓ A. 4.1. Aquest curs, durant una setmana concreta, el formulari d'inscripció del web de l'associació rep 15 inscripcions independents, cadascuna de les quals correspon a un dels tres tipus d'activitats. Suposant que la distribució de les inscripcions es manté com el curs passat, calculeu la probabilitat que exactament 10 de les 15 inscripcions siguin per a activitats presencials. Determineu el nombre esperat d'inscripcions a activitats presencials d'aquella setmana. [1,5 punts] 4.2. El curs passat, per a dur a terme les 240 activitats, els tres amics van decidir organitzar-se de manera que cada activitat fos duta a terme per una sola persona; és a dir, no hi havia activitats desenvolupades per més d'un d'ells. Si sabem que la Carme va participar en 30 activitats més que el Martí i que el Saïd va participar en 18 activitats més que el Martí, de quantes activitats es va encarregar cadascun dels tres amics? [1 punt]

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques (tallers per a famílies, xerrades en escoles i instituts i seminaris en línia). OPCIÓ B. 4.1. Per estudiar l'efecte d'una campanya de promoció dels tallers familiars d'aquest curs, els tres amics modelitzen el nombre de famílies inscrites mitjançant la funció $f(t)=\dfrac{100t}{t^2+4}$, en què $t$ representa el nombre de dies des de l'inici de la campanya i $f(t)$ correspon al nombre de famílies inscrites aquell dia. Hi ha algun dia en què el nombre de famílies inscrites sigui exactament 20? En cas afirmatiu, indiqueu quin. Quin dia s'assoleix el nombre màxim de famílies inscrites? Quin és aquest nombre màxim? [1,5 punts] 4.2. Els tres amics també volen analitzar com es reparteixen entre ells la feina de preparació de les activitats. Per fer-ho, revisen com s'han organitzat durant una setmana concreta. En total, en aquest període han dedicat 24 hores a la preparació de tallers familiars, 21 hores a la preparació de xerrades en centres educatius i 15 hores a la preparació de seminaris en línia. La distribució de la feina de preparació de cadascun dels tres tipus d'activitats és la següent: la Carme s'encarrega del $50\,\%$ de la preparació dels tallers familiars, del $30\,\%$ de les xerrades i del $20\,\%$ dels seminaris; el Saïd, del $30\,\%$ dels tallers, del $50\,\%$ de les xerrades i del $20\,\%$ dels seminaris; el Martí, del $20\,\%$ dels tallers, del $20\,\%$ de les xerrades i del $60\,\%$ dels seminaris. Agrupem aquesta informació en les matrius $R=\begin{pmatrix}0{,}50&0{,}30&0{,}20\\0{,}30&0{,}50&0{,}20\\0{,}20&0{,}20&0{,}60\end{pmatrix}$ i $h=\begin{pmatrix}24\\21\\15\end{pmatrix}$, que corresponen a la matriu de repartiment percentual i al vector d'hores totals dedicades a la preparació de cada tipus d'activitat, respectivament. Calculeu el vector $R\cdot h$ i interpreteu-ne el significat. Quin dels tres amics ha dedicat més hores a la preparació d'activitats? [1 punt]