Probabilitat: exercicis de selectivitat de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials (Catalunya)

En una assignatura d'un màster de dos anys, el $70\,\%$ dels estudiants són de primer curs i la resta són de segon curs. Segons dades de cursos anteriors, la probabilitat d'aprovar l'assignatura és del $60\,\%$ per als estudiants de primer curs i del $85\,\%$ per als de segon curs. Fórmules: $Z\sim N(0,1)\Rightarrow P(-1{,}96\le Z\le1{,}96)=0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le2{,}58)=0{,}99$. Interval de confiança per a la proporció (mostres grans): $\left[\hat p-z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\ \hat p+z_\gamma\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right]$. 3.1. Si escollim un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que aprovi l'assignatura? Si sabem que un estudiant ha aprovat l'assignatura, quina és la probabilitat que sigui de primer curs? [1,25 punts] 3.2. El professor vol estimar la nova proporció d'estudiants que aproven l'assignatura després d'introduir un nou mètode d'ensenyament. Per fer-ho, selecciona una mostra aleatòria de $n=80$ estudiants i observa que 55 d'ells han aprovat. Trobeu un interval de confiança del $95\,\%$ per a la proporció $p$ d'aprovats amb el nou mètode. L'interval obtingut permet afirmar que el nou mètode ha millorat la taxa d'aprovats respecte de la situació anterior? Raoneu la resposta. [1,25 punts]

Tres amics —la Carme, el Saïd i el Martí— van crear fa uns anys una petita associació dedicada a la divulgació de les matemàtiques. En aquesta associació organitzen tallers per a famílies, visiten escoles i instituts d'arreu del país, i imparteixen seminaris en línia. El curs passat van dur a terme un total de 240 activitats, repartides en 96 tallers familiars, 84 xerrades en escoles o instituts i 60 seminaris en línia. Els dos primers tipus d'activitats són presencials, mentre que els seminaris en línia, evidentment, no ho són. OPCIÓ A. 4.1. Aquest curs, durant una setmana concreta, el formulari d'inscripció del web de l'associació rep 15 inscripcions independents, cadascuna de les quals correspon a un dels tres tipus d'activitats. Suposant que la distribució de les inscripcions es manté com el curs passat, calculeu la probabilitat que exactament 10 de les 15 inscripcions siguin per a activitats presencials. Determineu el nombre esperat d'inscripcions a activitats presencials d'aquella setmana. [1,5 punts] 4.2. El curs passat, per a dur a terme les 240 activitats, els tres amics van decidir organitzar-se de manera que cada activitat fos duta a terme per una sola persona; és a dir, no hi havia activitats desenvolupades per més d'un d'ells. Si sabem que la Carme va participar en 30 activitats més que el Martí i que el Saïd va participar en 18 activitats més que el Martí, de quantes activitats es va encarregar cadascun dels tres amics? [1 punt]

Al campus d'una universitat, el $45\,\%$ de l'alumnat hi arriba en tren, el $35\,\%$ en autobús i la resta utilitzant mitjans propis. Dels usuaris del tren, el $70\,\%$ usa la T-jove, mentre que el $30\,\%$ restant fa servir altres tipus de bitllets. Dels usuaris de l'autobús, el $60\,\%$ utilitza la T-jove i el $40\,\%$ usa altres tipus de bitllets. Dels que arriben al campus per mitjans propis, cap no fa servir la T-jove. Fórmules: si $Z\sim N(0,1)$, $P(-1{,}96\le Z\le1{,}96)=0{,}95$ i $P(-2{,}58\le Z\le2{,}58)=0{,}99$. Interval de confiança per a la mitjana (mostres grans, variància desconeguda): $\left[\bar x-z_\gamma\frac{s}{\sqrt n},\ \bar x+z_\gamma\frac{s}{\sqrt n}\right]$. 2.1. Si escollim un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que faci servir la T-jove per arribar al campus? Si sabem que un alumne usa la T-jove per arribar-hi, quina és la probabilitat que ho faci en tren? [1,25 punts] 2.2. Volem fer un estudi per a saber quant temps tarda l'alumnat a arribar al campus de la universitat des que surt per la porta de casa. Per això vam demanar a una mostra de 300 estudiants que calculessin aquesta dada un dia determinat. Vam obtenir que aquests 300 estudiants de mitjana havien tardat 53 minuts a arribar al campus, i que la desviació típica era de 8 minuts. Trobeu un interval de confiança del $95\,\%$ per al temps que tarden els alumnes a arribar al campus. [1,25 punts]

En un parc natural, els visitants hi poden accedir en cotxe, en bicicleta o a peu, i un cop dins poden fer una ruta guiada o visitar-lo pel seu compte. El 60% dels visitants hi accedeixen en cotxe, el 15% en bicicleta i el 25% a peu. D'aquests, fan la ruta guiada el 80% dels que hi van en cotxe, el 60% dels que hi van en bicicleta i el 30% dels que hi van a peu.

OPCIÓ B. Hi ha hagut una errada en el recompte de vehicles elèctrics de la línia L2: el valor 30 de la taula original és erroni. Se sap que si es venguessin tots els vehicles de L2 (que són 100 de combustió i la resta elèctrics), els ingressos d'aquesta línia serien de 3.720.000 €.

OPCIÓ A. Al Congrés Català d'Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d'universitat, d'educació secundària i d'educació infantil i primària. A hores d'ara, un 10% dels docents inscrits són d'universitat, un 50% són de secundària i la resta són d'infantil i primària. D'altra banda, un 40% dels docents inscrits d'universitat, un 52% dels docents inscrits de secundària i un 65% dels docents inscrits d'infantil i primària són dones.

Un centre esportiu té dues zones: piscina (A1) i gimnàs (A2). Els abonats trien només una zona i també si volen accedir en horari de matí (B1) o de tarda (B2). La probabilitat que un abonat utilitzi la piscina és 0,4 i el gimnàs 0,6. La probabilitat que estigui abonat en horari de matí és 0,55 si utilitza la piscina i 0,45 si utilitza el gimnàs.

En una cafeteria, al migdia, ofereixen la possibilitat d'escollir entre el menú del dia (opció A1) o un plat combinat (opció A2). Alguns clients també prenen cafè (opció B1) i d'altres no (opció B2). Si seleccionem un client de la cafeteria a l'atzar, la probabilitat que esculli el menú del dia és de 0,6 i la probabilitat que esculli un plat combinat és de 0,4. D'altra banda, la probabilitat que prengui cafè si escull el menú del dia és de 0,75, mentre que la probabilitat que prengui cafè si escull un plat combinat és de 0,5.

El Guiu i el Roc miren moltes pel·lícules de la plataforma a la qual estan subscrits. Si triem una pel·lícula a l'atzar, la probabilitat que el Guiu l'hagi vista és 0,5, la probabilitat que el Roc l'hagi vista és 0,6 i la probabilitat que l'hagin vista tots dos és 0,25.