Examen PAU Matemáticas II 2024 Ordinaria — Andalucía

Sea la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\ln(x)$, y los puntos de su gráfica $A(1,0)$ y $B(e,1)$. a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [1,5 puntos] b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$. [1 punto]

Considera la función continua $f$ definida por $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x\cos(x)-a\operatorname{sen}(x)}{x^{3}} & \text{si } x<0\\ b\cos(x)-1 & \text{si } x\geq0\end{cases}$. Calcula $a$ y $b$. [2,5 puntos]

Considera la función $f$ definida por $f(x)=x^{3}+\dfrac{2}{x^{2}-1}$, para $x\neq-1,\ x\neq1$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. [2,5 puntos]