Análisis: ejercicios de selectividad de Matemáticas II (Andalucía)

Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo. Sabiendo que el perímetro de la ventana mide 8 metros, halla las dimensiones de la ventana que permitan la mayor entrada de luz (es decir, la máxima área). [2,5 puntos]

Dada la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\dfrac{8e^{x}-4e^{2x}}{1+e^{x}}$, encuentra la primitiva de $f$ cuya gráfica tiene por tangente la recta $y=2x+12\ln(2)$ en el punto de abscisa $x=0$. (Sugerencia: haz el cambio $e^{x}=t$.) [2,5 puntos]

La velocidad de crecimiento de la población de peces en un lago al cabo del tiempo, $t$ en años, viene dada por $P'(t)=20\,t\,e^{\frac{-t}{10}}$, siendo $P(t)$ la población de peces. Sabiendo que la población inicial es de $1000$ peces, calcula cuántos tendrá el lago transcurridos $10$ años. [2,5 puntos]

Se sabe que la función $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$, verifica que: $f(1)=0$, $x=0$ es un punto crítico de la función y la recta tangente a su gráfica en $x=-1$, es paralela a la recta de ecuación $y+3x=0$. Determina $a$, $b$ y $c$. [2,5 puntos]

Sabiendo que $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)-ax+2-2\cos(x)}{e^{x}-x\cos(x)-1}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite. [2,5 puntos]

Sea la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=a+\dfrac{\ln(x)}{x^{2}}$. a) Calcula $a$ para que $y=1$ sea una asíntota horizontal de la gráfica de $f$. [1 punto] b) Para $a=0$, calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. Estudia y halla los extremos relativos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos]

Halla la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ que pasa por los puntos $(2,\ e-2-2\ln(2))$ y $(1,0)$, y verifica que $f''(x)=e^{x-1}-\dfrac{1}{x}$. [2,5 puntos]

Considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=(x-1)e^x$. a) [1,5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión. b) [1 punto] Estudia y calcula las asíntotas de la función.

Sea la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=(x-1)^2$. a) [0,75 puntos] Esboza el recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y=a$ con $a>0$. b) [1,75 puntos] Calcula $a>0$ para que el área del recinto acotado y limitado por la gráfica de $f$ y la recta $y=a$ sea $\frac43$ unidades cuadradas.

Considera la función $f(x)=\begin{cases}x\,\mathrm{sen}(2x)&\text{si }x\le0\\\cos(\pi x)-1&\text{si }x>0\end{cases}$. Calcula $\displaystyle\int_{-\pi/4}^{1}f(x)\,dx$.

Sea la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\ln(x)$, y los puntos de su gráfica $A(1,0)$ y $B(e,1)$. a) Determina, si existen, los puntos de la gráfica de $f$ en los que la recta tangente es paralela a la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$. [1,5 puntos] b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto $A$. [1 punto]

Considera la función continua $f$ definida por $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x\cos(x)-a\operatorname{sen}(x)}{x^{3}} & \text{si } x<0\\ b\cos(x)-1 & \text{si } x\geq0\end{cases}$. Calcula $a$ y $b$. [2,5 puntos]

Considera la función $f$ definida por $f(x)=x^{3}+\dfrac{2}{x^{2}-1}$, para $x\neq-1,\ x\neq1$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0,1)$. [2,5 puntos]

Halla la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tal que $f''(x)=x\cos(x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$ y $(\pi,2\pi)$. [2,5 puntos]

Considera la función $f(x)=\dfrac{1}{e^{x}+e^{-x}}$, definida en todo $\mathbb{R}$. a) Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de $f$ (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). [1,5 puntos] b) Calcula $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x^{2}f(x)$. [1 punto]

Sea la función $f:[-2,2]\to\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x^{3}-2x+5$. a) Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos $(-2,f(-2))$ y $(2,f(2))$. [1,5 puntos] b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en el punto de inflexión. [1 punto]

Considera la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, definida por $f(x)=x|x-1|$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de esta función y su recta tangente en el punto de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

Considera la función $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t^{2})\,dt$. Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{xF(x)}{\operatorname{sen}(x^{2})}$. [2,5 puntos]