Álgebra lineal: ejercicios de selectividad de Matemáticas II (Andalucía)

Considera el sistema $\begin{cases}3x-y=a^{2}\\(1-a)y+2z=0\\4y+(3-a)z=a-5\end{cases}$. a) Discútelo según los valores de $a$. [1,75 puntos] b) Para $a=0$, resuelve el sistema, si es posible. [0,75 puntos]

Considera la matriz $A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta&1\\2&\alpha&\beta\\3&4&\alpha\end{pmatrix}$, que cumple $|A|=-2$. a) Calcula $\begin{vmatrix}-3&-4&-\alpha\\\alpha-2&\beta-\alpha&1-\beta\\8&4\alpha&4\beta\end{vmatrix}$. [1,5 puntos] b) Calcula $|A^{-1}(A^{t})^{2}A|$. [1 punto]

Una familia va al mercado semanalmente y compra tres tipos de alimentos: verdura, carne y pescado. El año pasado, en el que gastó 115 € semanales, observó que pagaba el doble en el puesto del pescado que en el de la verdura. En $2026$ se ha notado un incremento de precios pues ahora gasta 19 € más que el año pasado por la misma compra, comprobando que la verdura ha subido un $12\,\%$, la carne un $15\,\%$ y el pescado un $20\,\%$. Calcula el precio que la familia paga semanalmente en $2026$, por cada tipo de alimento. [2,5 puntos]

Considera las matrices $A=\begin{pmatrix}2&2\\3&4\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}3&1\\2&2\end{pmatrix}$. a) Halla razonadamente el determinante de una matriz $X$ que verifica $A^{3}XB^{t}=5B^{2}A^{-1}$. [1 punto] b) Determina, si existe, una matriz $Y$ que verifica $A^{3}YB^{-1}=A^{2}$. [1,5 puntos]

Juan se ha gastado 80€ en la compra de un jersey, una camisa y unos pantalones. Sabemos que el precio del jersey es un tercio del precio de la camisa y los pantalones juntos. a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del jersey? ¿Y el de la camisa? Razona la respuesta. [1,25 puntos] b) Si Juan hubiera esperado a las rebajas se habría gastado 57€, ya que el jersey, la camisa y los pantalones tenían un descuento del 30%, del 40% y del 20%, respectivamente. Calcula el precio de cada prenda antes de las rebajas. [1,25 puntos]

Sea la matriz $A=\begin{pmatrix}\alpha&\alpha+4&0\\1&\alpha&1\\0&\alpha+4&\alpha\end{pmatrix}$. a) [1 punto] Indica para qué valores de $\alpha$ la matriz $A$ admite inversa. b) [1,5 puntos] Para $\alpha=1$ determina, si es posible, la matriz inversa de $A$.

Considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1&1/8&1/8\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. a) Calcula $A^{2024}$. [1 punto] b) Halla la matriz $X$, si es posible, que verifica $A^{2}XA+I=O$, donde $I$ y $O$ son la matriz identidad y la matriz nula de orden 3, respectivamente. [1,5 puntos]

Considera el sistema $\begin{cases}y+z=1\\(k-1)x+y+z=k\\x+(k-1)y+z=0\end{cases}$. a) Discute el sistema según los valores de $k$. [1,75 puntos] b) Para $k=1$, resuelve el sistema, si es posible. ¿Hay alguna solución en la que $y=0$? En caso afirmativo, calcúlala; en caso negativo, justifica la respuesta. [0,75 puntos]

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60% de los coches blancos más el 50% de los coches negros representan el 30% de los coches vendidos. El 20% de los coches blancos junto con el 60% de los coches negros y el 60% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color. [2,5 puntos]

Considera las matrices $A=\begin{pmatrix}0&0&m\\m&0&0\\0&m&0\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$. a) Determina para qué valores de $m$ existe la inversa de la matriz $A$. [0,5 puntos] b) Para todo $m\neq-1$, resuelve, si es posible, la ecuación $AX+X=B$. [2 puntos]