Geometría: ejercicios de selectividad de Matemáticas II (Andalucía)

Considera los puntos $A(1,2,0)$, $B(2,m,1)$, $C(3,4,2)$ y $D(1,-1,m)$. a) Encuentra los valores de $m$ para los que los puntos anteriores son coplanarios. [1 punto] b) Para $m=1$, calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$, $C$ y el volumen del tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$, $D$. [1,5 puntos]

Considera la recta $r\equiv\begin{cases}x=-2\lambda\\y=-1+2\lambda\\z=3+2\lambda\end{cases}$ y el plano $\pi\equiv x-2y+z-3=0$. a) Determina la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a $r$ y que está contenida en $\pi$. [1 punto] b) Halla el punto simétrico de $P(1,1,1)$ respecto de $\pi$. [1,5 puntos]

Sean los puntos $O(0,0,0)$, $A(0,2,-2)$, $B(1,2,m)$ y $C(2,3,2)$. a) Halla los valores de $m$ para que el tetraedro determinado por los puntos $O$, $A$, $B$ y $C$ tenga un volumen de 3 unidades cúbicas. [1,25 puntos] b) Para $m=0$, calcula la distancia del punto $O$ al plano que pasa por los puntos $A$, $B$ y $C$. [1,25 puntos]

Considera el punto $P(1,1,1)$ y la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z-3}{2}$. a) Halla el plano que pasa por el punto $P$ y contiene la recta $r$. [1 punto] b) Halla la recta que pasa por el punto $P$ y corta perpendicularmente la recta $r$. [1,5 puntos]

Sean los puntos $A(3,-1,1)$, $B(1,3,-3)$ y $C(-2,-2,1)$. a) [1 punto] Calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$. b) [1,5 puntos] Halla los puntos $D$ pertenecientes al eje $OZ$ para que el tetraedro de vértices $A$, $B$, $C$ y $D$ tenga un volumen de 20 unidades cúbicas.

Considera el plano $\pi\equiv2x+y+2z+5=0$. a) [1,5 puntos] Calcula el punto simétrico de $P(1,0,1)$ respecto de $\pi$. b) [1 punto] Calcula los planos paralelos a $\pi$ y que disten 2 unidades de $\pi$.

a) Halla el punto simétrico de $P(2,2,1)$ respecto de la recta $r\equiv\begin{cases}x-2y+z=2\\y-z=1\end{cases}$. [1,25 puntos] b) Halla el punto simétrico de $Q(1,-1,-3)$ respecto del plano $\pi\equiv x-2y+z+6=0$. [1,25 puntos]

Considera las rectas $r\equiv\begin{cases}y=0\\2x-z=0\end{cases}$ y $s\equiv\begin{cases}x+y+7=0\\z=0\end{cases}$. a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. [1 punto] b) Calcula la ecuación del plano paralelo a $r$ y $s$ que equidista de ambas rectas. [1,5 puntos]

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0,3,8)$ y $Q(2,1,6)$ que pasa por su punto medio corta los ejes coordenados en los puntos $A$, $B$ y $C$. Halla el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$. [2,5 puntos]

Considera el punto $A(-1,1,3)$ y la recta $r$ determinada por los puntos $B(2,1,1)$ y $C(0,1,-1)$. a) Halla la distancia del punto $A$ a la recta $r$. [1,5 puntos] b) Calcula el área del triángulo de vértices $A$, $B$ y $C$. [1 punto]