Programación lineal: ejercicios de selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Madrid)

Pregunta 3, opción 3.2. Considere la región $S$ del plano delimitada por las siguientes restricciones: $x\le6$, $3y-2x\le10$, $3y\ge2-2x$, $x\le10-y$, $y\ge x-6$. 3.2.a) (2.0 puntos) Calcule las coordenadas de los vértices de $S$ y represente gráficamente la región $S$. 3.2.b) (0.5 puntos) Se desea minimizar el triple de $y$ menos la mitad de $x$ en $S$. Indique el valor mínimo y el punto de la región en el cual se alcanza.

Sean $x$ e $y$ dos números reales tales que $x\geq-6$, $y\geq0$, $-x+y\leq8$, $x+4y\leq12$, $x+y\leq6$. a) Represente gráficamente la región $S$ determinada por las restricciones y calcule las coordenadas de sus vértices. b) Se desea maximizar el doble de $y$ menos el triple de $x$ en $S$. Indique el valor máximo y el punto de la región en el cual se alcanza.

Se dispone de 60 gramos de ácido acetilsalicílico para elaborar tabletas en dos formatos, de 4 gramos y de 3 gramos respectivamente. Se necesitan al menos tres tabletas de 4 gramos, al menos ocho tabletas de 3 gramos y al menos el doble de tabletas de 3 gramos que de 4 gramos. Cada tableta de 4 gramos proporciona un beneficio de 1,5 euros y cada tableta de 3 gramos proporciona un beneficio de 1 euro. ¿Cuántas tabletas deberían fabricarse de cada tipo para maximizar el beneficio? ¿Cuál es el beneficio máximo?

De entre todos los números reales no negativos y menores o iguales que 10 se buscan dos números tales que el doble del primero menos el segundo no pase de 10, y el triple del primero más el doble del segundo sea al menos 12. Además, se desea que su suma sea lo menor posible. ¿Cuáles son estos números? ¿Cuál es la suma mínima obtenida?

Se desea producir pintura verde en dos tonalidades, VERDE1 y VERDE2, mezclando pintura azul y amarilla en distintas proporciones. Un litro de pintura VERDE1 necesita 0.3 litros de azul y 0.7 litros de amarillo, mientras que un litro de pintura VERDE2 necesita 0.5 litros de azul y 0.5 litros de amarillo. Actualmente se dispone de 20 litros de azul y 28 litros de amarillo. El beneficio por litro de la pintura VERDE1 es de 1 euro, y por litro de pintura VERDE2 es de 1.2 euros. No se pueden producir más de 30 litros de pintura VERDE1. ¿Cuántos litros de pintura VERDE1 y VERDE2 debe producir para maximizar sus beneficios? ¿Cuál será el beneficio obtenido?

Una entrenadora personal debe diseñar una rutina para un cliente con una duración entre 45 y 60 minutos repartidos entre ejercicios de fuerza y cardiovasculares. El tiempo dedicado a los ejercicios de fuerza no puede superar al de los cardiovasculares, aunque el tiempo dedicado a los ejercicios de fuerza debe ser de al menos 20 minutos. La entrenadora considera que para su cliente el beneficio de un minuto cardiovascular es doble que un minuto de fuerza. ¿Qué duración de cada tipo de ejercicios resulta más beneficiosa para su cliente en la rutina programada? ¿Y la menos beneficiosa?

El dueño de una empresa que organiza fiestas infantiles quiere hacer chocolate con leche y dispone para la mezcla de 30 litros de leche y 20 litros de chocolate líquido. Por cada litro de chocolate debe echar como máximo 3 litros de leche, y por cada litro de leche debe echar como máximo 1,6 litros de chocolate. Además, solo dispone de botellas para envasar 45 litros de chocolate con leche. Por cada litro de leche de la mezcla puede obtener un beneficio de 1€ y por cada litro de chocolate un beneficio de 2€. Determine cuántos litros de leche y de chocolate líquido debe mezclar para obtener el máximo beneficio y calcule el beneficio que se obtiene.

Sea $S$ la región del plano definida por $7y-8x\leq3400$, $3x-8y\leq2000$, $11x+14y\geq9500$, $x\leq1200$, $y\leq1000$. a) Represente gráficamente la región $S$ y calcule las coordenadas de sus vértices. b) Obtenga el valor mínimo de la función $f(x,y)=2x+y$ en $S$, indicando el punto de la región en el cual se alcanza.