Análisis: ejercicios de selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Madrid)

Pregunta 2, opción 2.1. Considere la función real de variable real $f(x)=x(1-x^2)+e^{-\lambda x}$, donde $\lambda$ es un parámetro real sin especificar. 2.1.a) (1 punto) Calcule $F(x)$, la primitiva de $f(x)$, tal que $F(0)=1$. 2.1.b) (1 punto) Obtenga el área entre la curva de $f(x)$ y el eje horizontal en el intervalo $[0,1]$. 2.1.c) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de $\lambda$ es $f'(0)$ positiva?

Sea la función real de variable real definida por $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x+2}{(x-2)^2} & \text{si } x<0\\ \dfrac{x^2+x^3}{x^2+1} & \text{si } x\geq0\end{cases}$. a) Determine razonadamente el dominio de $f(x)$. b) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $x=0$. c) Calcule la asíntota de $f(x)$ cuando $x\to-\infty$. d) Calcule la asíntota de $f(x)$ cuando $x\to+\infty$.

Opción 4.1. Considere la función real de variable real $f(x)=\begin{cases}e^{-3x+2}&x<0\\[2pt]\dfrac{x^2-4x+2}{x+1}&x\ge0\end{cases}$ a) (0,5 puntos) Determine razonadamente el dominio de la función. b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función en $x=0$. c) (1 punto) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Existe algún extremo de esta función?

Opción 4.2. Considere la función real de variable real $f(x)=x^3+3x^2+ax+b$. a) (1 punto) Obtenga los valores de $a$ y $b$ para que la recta tangente a la función en el punto $(1,2)$ sea horizontal. b) (1,5 puntos) Si $a=-10$ y $b=0$, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas $x=1$ y $x=3$.

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión: $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+1}{x-1}&\text{si }x\le0\\[2mm]\dfrac{x+a}{x+1}&\text{si }x>0\end{cases}$, $a\in\mathbb R$. 2.1.a) (1 punto) Determine el valor del parámetro real $a$ para que la función sea continua en $x=0$. 2.1.b) (1.5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.

Se considera la función real de variable real dada por $f(x)=e^x(-x^2+3)$. a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y clasifique, si procede, sus extremos relativos. b) Halle el valor de la integral definida $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{f(x)}{xe^x}\,dx$.

Considere la función real de variable real $f(x)=x(x^2+a)$, donde $a>0$ es un parámetro real. a) Calcule el valor de $a$ para que la primitiva de $f(x)$, $F(x)$, cumpla que $F(0)=0$ y $F(1)=1$. b) Para $a=\dfrac32$, obtenga el área del recinto delimitado por $f(x)$, el eje horizontal y las rectas verticales $x=0$ y $x=2$. c) Halle los valores de $a$ que hacen que la pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en el punto $x=1$ sea $1$.

Se considera la función real de variable real definida por $f(x)=\begin{cases}\dfrac{x}{2x-1}&\text{si }x<0,\\[2mm]\dfrac{4x^3+x^2}{x^2-9}&\text{si }x\ge0.\end{cases}$ 3.2.a) (0.5 puntos) Determine el dominio de $f(x)$. 3.2.b) (0.5 puntos) Estudie la continuidad de $f(x)$ en $x=0$. 3.2.c) (1.5 puntos) Calcule las asíntotas de $f(x)$.

Sea $f(x)$ una función real de variable real cuya derivada viene dada por $f'(x)=x^2+x-2$. a) Obtenga la expresión de la función $f(x)$ sabiendo que pasa por el punto $(0,2)$. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.

Se considera la función real de variable real definida por $f(x)=\begin{cases}x^2-x+e^2 & \text{si } x<1\\ ae^{2x} & \text{si } x\geq1\end{cases}$. a) Halle el valor del parámetro $a\in\mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio. b) Para $a=1$, calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de la función anterior, el eje de abscisas y las rectas $x=1$ y $x=2$.

Se considera la siguiente función real de variable real: $f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-9}$. a) Determine las asíntotas de esta función. b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=0$.

a) Encuentre el valor del parámetro real $a$ tal que $\displaystyle\int_0^1(\sqrt x-a)\,dx=\dfrac23$. b) Sea $f(x)=\begin{cases}x^2-b & \text{si } x<0\\ 3x+2 & \text{si } x\geq0\end{cases}$. Determine para qué valores del parámetro $b\in\mathbb{R}$ se tiene que $f(x)$ es una función continua en su dominio. Estudie la derivabilidad de la función para esos valores del parámetro $b$.

Sea $f(x)$ una función real de variable real cuya derivada viene dada por $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}+a$. a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ pase por los puntos $(1,3)$ y $\left(2,\dfrac72\right)$. Escriba la expresión de la función $f(x)$. b) Para $a=1$, determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, clasificando sus extremos relativos, si procede.

Se considera la siguiente función real de variable real: $f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2-4}$. a) Determine las asíntotas de esta función. b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x=1$.

Se considera la función real de variable real definida por $f(x)=6x^2+ae^x-2$, $a\in\mathbb{R}$. a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ sabiendo que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=e-1$. b) Para $a=1$, obtenga la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$.

Se considera la función real de variable real definida por $f(x)=\begin{cases}\dfrac{-x^4}{x^2+1} & \text{si } x\leq0\\ \dfrac{x^2+1}{x+1} & \text{si } x>0\end{cases}$. a) Indique el dominio de la función $f(x)$ y analice su continuidad, señalando el tipo de discontinuidad si la presenta. b) Determine las asíntotas de la función anterior.

Se consideran las siguientes funciones reales de variable real: $f(x)=-x^3+2x^2+4x$, $g(x)=4x$. a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$. b) Calcule el área de la región acotada limitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el primer cuadrante del plano cartesiano.

Considere la función real de variable real $f(x)=x^3+2x^2$. a) Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=1$. b) Determine los extremos relativos de la función $f(x)$ indicando si son máximos o mínimos.

Considere la función real de variable real $f(x)=\begin{cases}ax^2+3 & x<2\\ e^x & x\geq2\end{cases}$. a) Obtenga el valor del parámetro real $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en su dominio. b) Calcule el área de la región acotada del plano delimitada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y las rectas $x=2$ y $x=3$.

Considere la función real de variable real $f(x)=x+\dfrac2x$. a) Halle el dominio de la función y determine sus asíntotas. b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

La figura dada representa la gráfica de cierta función $f$, con tangentes horizontales en $x=-1$, $x=1$, $x=2$ y $x=4$, definida en el intervalo $[-2,5]$. a) Determine razonadamente los intervalos en los que $f'(x)>0$. b) Determine razonadamente cuál es el signo de $\displaystyle\int_{-2}^{5} f(x)\,dx$.

Considere la función real de variable real $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$. a) Determine sus asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). b) Calcule $f'(x)$ y halle el valor de $f'(2)$.

Un escultor quiere dividir un alambre muy fino en dos trozos que se utilizarán para delimitar, respectivamente, un cuadrado y un rectángulo cuya base debe medir el doble que su altura. Posteriormente, se fabricarán ambas figuras planas con un material que cuesta 16 céntimos de euro/cm² para el cuadrado y 10 céntimos de euro/cm² para el rectángulo. Si el alambre inicial mide 450 cm, determine la función de coste total de ambas figuras. Obtenga la longitud de cada trozo de alambre para que el coste total de estas piezas sea mínimo. Sugerencia: exprese el coste total en función de la altura del rectángulo y utilice 3 cifras decimales para realizar los cálculos.

Considere las funciones reales de variable real $f(x)=x^2-4x+3$ y $g(x)=-x^2+ax+3$. a) Se define $h(x)=\begin{cases}f(x) & \text{si } x\leq1\\ g(x) & \text{si } x>1\end{cases}$. ¿Qué valor debe darse a la constante $a\in\mathbb{R}$ para que la función $h$ sea continua en $\mathbb{R}$? b) Para $a=2$, halle el área de la región acotada del plano que está delimitada por las gráficas de $f$ y de $g$.

a) Determine los valores de los parámetros $a,b\in\mathbb{R}$ para que la función $f(x)=ax+\dfrac{b}{x}$ verifique que $f(2)=4$ y $f'(2)=0$. b) Encuentre todas las asíntotas de la función $g(x)=x+\dfrac{1}{x}$.

Un investigador ha desarrollado un fertilizante para un determinado cultivo. Los estudios de mercado indican que los ingresos, $I(x)$, en miles de euros, vienen expresados por la función $I(x)=x\cdot\dfrac{170-0.85x}{5}$, en la que $x$ representa la demanda del producto, expresada en miles de litros. Por otra parte, los costes de producción que asume la empresa, en miles de euros, se expresan en función de la demanda mediante la función $C(x)=10+2x+x^2$. a) Proporcione una expresión para la función beneficio en términos de la demanda $x$ y encuentre la cantidad de producto que debería venderse para maximizarlo. Obtenga también el beneficio máximo. b) Determine entre qué valores debería encontrarse la cantidad demandada de fertilizante para que el coste medio, $C(x)/x$, no supere los diez mil euros. Nota: Exprese los resultados con 2 cifras decimales.