Examen PAU Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II 2022 Ordinaria — Madrid

Sean $A$ y $B$ sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A)=0.6$, $P(A|B)=0.4$ y $P(A|B^c)=0.8$, siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$. a) Calcule $P(B)$. b) ¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.

Una cementera rellena sacos de cemento cuyo peso en kilogramos se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media desconocida y desviación típica igual a 2 kg. a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es 50 kg. Determine un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de un saco de cemento. b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 1 kilogramo, con un nivel de confianza del 90%.

Se considera el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $a\in\mathbb{R}$: $x+ay+z=a$ $ax-y-az=0$ $x+y+z=1$ a) Discuta la compatibilidad del sistema para los diferentes valores de $a$. b) Resuelva el sistema para $a=2$.

Considere la función real de variable real $f(x)=\dfrac{x^2-x+1}{x-1}$. a) Determine sus asíntotas (verticales, horizontales y oblicuas). b) Calcule $f'(x)$ y halle el valor de $f'(2)$.

Un escultor quiere dividir un alambre muy fino en dos trozos que se utilizarán para delimitar, respectivamente, un cuadrado y un rectángulo cuya base debe medir el doble que su altura. Posteriormente, se fabricarán ambas figuras planas con un material que cuesta 16 céntimos de euro/cm² para el cuadrado y 10 céntimos de euro/cm² para el rectángulo. Si el alambre inicial mide 450 cm, determine la función de coste total de ambas figuras. Obtenga la longitud de cada trozo de alambre para que el coste total de estas piezas sea mínimo. Sugerencia: exprese el coste total en función de la altura del rectángulo y utilice 3 cifras decimales para realizar los cálculos.

Una carta escogida al azar es eliminada (sin ser vista) de un mazo de 52 cartas de póker, en el que hay 13 cartas de cada palo (diamantes, corazones, picas y tréboles). Una vez eliminada, se escoge al azar una carta, entre las que quedan en el mazo, y esta segunda carta es observada. a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes. b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.

Considere una población donde observamos una variable aleatoria $X$ con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. Sea $\bar X$ la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño 10. a) Determine el valor de $\sigma$ sabiendo que $I=(58.2,\,73.8)$ es un intervalo de confianza del 95% para $\mu$. b) Si $\sigma=20$, calcule $P(-10<\bar X-\mu<10)$.