Probabilidad: ejercicios de selectividad de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II (Madrid)

Pregunta 4, opción 4.1. Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos de los que se conoce la siguiente información: $P(A)=0.4$, $P(B)=0.6$, $P(C)=0.5$, $P(A\mid C)=0.6$, $P(B\mid C)=0.8$, $P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)P(B\mid C)$ y $P(A\cap B\mid\overline C)=0.08$. 4.1.a) (1 punto) Determine si $A$ y $B$ son independientes. 4.1.b) (1.5 puntos) Determine la probabilidad de que $C$ ocurra sabiendo que $A$ y $B$ ocurrieron. Nota: $\overline S$ denota el suceso complementario (contrario) del suceso $S$.

En un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. El 3% de los productos presenta un defecto grave, el 7% un defecto leve y el resto no presenta defectos. Si el defecto es grave, el test da positivo el 98% de las veces; si es leve, el 80%; si no hay defectos, el 5%. a) Calcule la probabilidad de que el test de un producto seleccionado al azar dé negativo. b) Si el test de un producto ha dado positivo, calcule la probabilidad de que el defecto sea grave.

Opción 3.1. Se está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un $30\,\%$ de estudiantes de Humanidades, un $45\,\%$ de estudiantes de Ciencias y un $25\,\%$ de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el $15\,\%$ de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el $5\,\%$ y en Derecho el $25\,\%$. a) (0,9 puntos) Obtenga la probabilidad de que, elegido un trabajo al azar, haya sido realizado con la IA. b) (0,8 puntos) Si se selecciona un trabajo que no ha sido realizado con la IA, obtenga la probabilidad de que pertenezca a un estudiante de Derecho. c) (0,8 puntos) En la Facultad de Derecho, el detector de IA utilizado para este estudio tiene un $90\,\%$ de probabilidad de detectar los trabajos que realmente fueron realizados con IA, mientras que en un $8\,\%$ de las ocasiones clasifica los trabajos como realizados con la IA cuando realmente no se han realizado con dicha herramienta. Si al pasar un trabajo de un estudiante de Derecho por el detector este señala que se ha realizado con la IA, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente se haya realizado con la IA?

Opción 3.2. Se consideran dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A\cap B)=0{,}1$, $P(\overline{A}\cap\overline{B})=0{,}7$ y $P(A\mid B)=0{,}4$. (Nota: $\overline{S}$ es el suceso complementario del suceso $S$.) a) (0,5 puntos) $P(B)$ b) (0,5 puntos) $P(A\cup B)$ c) (0,5 puntos) $P(A)$ d) (0,5 puntos) $P(\overline{A}\mid\overline{B})$ e) (0,5 puntos) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? Justifique la respuesta

Para poder participar en el concurso «Mejor Jabón Artesano del año» es necesario pasar un control de calidad muy exigente. Un maestro jabonero sabe que el 90% de sus pastillas de jabón hechas a mano pasarían sin problemas este control de calidad. a) La empresa organizadora elegirá una muestra aleatoria simple de pastillas de jabón para estimar la proporción que supera el control. Suponiendo cierta la creencia del maestro sobre la calidad (90%), determine el tamaño mínimo necesario de la muestra para garantizar, con un nivel de confianza del 95%, que el margen de error sea inferior al 5%. b) Si finalmente se selecciona una muestra de 140 pastillas, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 120 superen el control de calidad.

En un concesionario el 50% de sus ventas son de automóviles microhíbridos, el 35% híbridos y el resto eléctricos enchufables. El acabado más alto de gama se vende en el 80% de los eléctricos enchufables, el 60% de los híbridos y el 45% de los microhíbridos. Se selecciona una operación de venta al azar. 4.1.a) (1.25 puntos) Calcule la probabilidad de que el coche vendido en esa operación no tenga el acabado más alto de la gama. 4.1.b) (1.25 puntos) Si el coche correspondiente a la operación de venta seleccionada tiene el acabado más alto de la gama, determine la probabilidad de que sea eléctrico enchufable.

De tres sucesos $A$, $B$ y $C$ se sabe que $A$ y $C$ son sucesos disjuntos, $A$ y $B$ son independientes y se tienen las siguientes probabilidades: $P(A)=0.25$, $P(B)=0.2$ y $P(B\cap C)=0.05$. a) Calcule la probabilidad de que ocurra al menos uno de los sucesos $A$ o $B$. b) Calcule $P(\overline B\cup\overline C)$. c) ¿Pueden ser independientes los sucesos $A$ y $C$?

La empresa tecnológica Pear acaba de lanzar la nueva versión de su smartphone insignia, el P25. En redes sociales han aparecido reportes de sobrecalentamiento excesivo que genera un aviso en pantalla. Un total de 288 compradores verificados responden a una encuesta, de los cuales 20 reportan haber visto el aviso de enfriamiento en condiciones normales de uso; se asume que es una muestra aleatoria simple. Ante el ruido en redes, la empresa Pear declara: «el sobrecalentamiento afecta solo al 2% de los dispositivos, limitado a un lote defectuoso de un proveedor». a) Asumiendo que el comunicado de Pear es cierto, calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que el número de smartphones defectuosos reportados en la encuesta hubiese sido superior o igual a 11. b) Obtenga un intervalo del 99% de confianza para la proporción de smartphones defectuosos a partir de la encuesta. ¿Es cuestionable la veracidad del comunicado de Pear?

Sean $A$, $B$ y $C$ tres sucesos. Se sabe que $A$ y $B$ son independientes. Además, se conoce la siguiente información: $P(A)=0.4$, $P(\overline B)=0.7$, $P(C)=0.5$, $P(A\cap B\mid C)=0.2$, donde $\overline B$ denota el suceso complementario de $B$. 4.1.a) (0.75 puntos) Calcule la probabilidad de que no ocurra $A$ o no ocurra $B$. 4.1.b) (0.75 puntos) Determine la probabilidad de que $A$ y $\overline B$ ocurran simultáneamente. 4.1.c) (1 punto) Obtenga $P(C\mid A\cap B)$.

En una clínica veterinaria se utiliza una prueba médica para detectar la insuficiencia renal en gatos adultos. Se sabe lo siguiente: el porcentaje de gatos adultos con insuficiencia renal es del 5%. Si el gato tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 90% de las veces. Si el gato no tiene insuficiencia renal, la prueba da positivo el 10% de las veces. a) Calcule la probabilidad de que un gato adulto seleccionado al azar dé un resultado negativo en la prueba. b) La prueba en un gato adulto ha resultado positiva. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga insuficiencia renal?

En un festival de música con 200 asistentes se observa que a 90 personas les gusta el pop, a 70 el techno y a 30 les gustan ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente del festival, calcule la probabilidad de que: a) Le guste al menos uno de los dos géneros musicales. b) Le guste el techno pero no el pop.

En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el 35%, el 20% y el 45% de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el 15% de los alevines criados en el tanque A, el 30% de los alevines criados en el tanque B y el 25% de los alevines criados en el tanque C miden más de 35 mm. Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que: a) Mida más de 35 mm. b) Sabiendo que no mide más de 35 mm, proceda del tanque C.

La observación meteorológica para los días de otoño en Madrid establece que el día está nublado en un 50% de las ocasiones y que la temperatura baja de los 10 grados un 7% de los días. Además, el 35% de los días son nublados o la temperatura baja de los 10 grados. Escogiendo un día de otoño al azar, calcule la probabilidad de que: a) Esté nublado y la temperatura baje de los 10 grados. b) No esté nublado, sabiendo que la temperatura no baja de los 10 grados.

Según los datos del INE, el 45.68% de las familias españolas tienen una renta mensual de 1500 a 3000 euros y el 23.98% de las familias tienen una renta mensual superior a 3000 euros. Entre las familias con menos de 1500 euros mensuales solo el 10% viaja por vacaciones, si el ingreso es de 1500 a 3000 euros mensuales viajan el 40% y si el ingreso es mayor de 3000 euros mensuales viajan el 85%. Eligiendo al azar una familia española, calcule la probabilidad de que: a) Viaje por vacaciones. b) Sabiendo que viaja por vacaciones, su ingreso mensual sea mayor de 1500 euros.

Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A)=0.55$ y $P(B)=0.1$. Además se sabe que $P(\bar B|A)=0.89$, donde $\bar B$ es el suceso complementario de $B$. Calcule las siguientes probabilidades: a) $P(A\cap B)$. b) $P(\bar A\cap\bar B)$, siendo $\bar A$ el suceso complementario de $A$.

El Ministerio de Educación y Formación Profesional convoca regularmente unas ayudas al estudio. En el curso 2019-2020 las ayudas destinadas a las Enseñanzas Obligatorias representaron el 56.5% del total, el 24% correspondieron a Enseñanzas Universitarias, mientras que el 19.5% restante fueron para Enseñanzas Postobligatorias No Universitarias. Las ayudas concedidas son financiadas o bien por el ministerio o bien por la Comunidad Autónoma a la que pertenece el estudiante. Concretamente, en el curso 2019-2020, las ayudas financiadas por el ministerio representaron el 13.8% del total de ayudas de Enseñanzas Obligatorias, el 86.1% de las Universitarias y el 80.3% de las Postobligatorias No Universitarias. Eligiendo una ayuda al estudio al azar de las anteriormente descritas, calcule la probabilidad de que: a) Sea financiada por el ministerio. b) La ayuda sea de Enseñanza Obligatoria, sabiendo que ha sido financiada por el ministerio.

Un estudio europeo sobre hábitos alimenticios y actividad física indica que el 27.4% de mujeres españolas mayores de 16 años practica semanalmente alguna actividad física durante al menos 150 minutos, y que el 65.1% consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día. Además, el 76.3% de estas mujeres dedica semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física o consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día. Calcule la probabilidad de que eligiendo una mujer española mayor de 16 años al azar: a) Dedique semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física y consuma de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día. b) No dedique semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física, sabiendo que no consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día.

La Agencia Estatal de Investigación Española convoca regularmente el Programa Ramón y Cajal para la contratación de investigadores de trayectoria destacada en dos modalidades: general y jóvenes doctores. En la convocatoria 2021 se presentaron 2159 solicitudes en la modalidad general y 1316 en la modalidad de jóvenes doctores. El porcentaje de investigadores seleccionados en la modalidad general fue el 16.1%, mientras que en la modalidad de jóvenes doctores fue del 21.1%. Eligiendo un investigador al azar, entre los solicitantes, calcule la probabilidad de que: a) Sea seleccionado para recibir una de las ayudas Ramón y Cajal. b) La solicitud sea de la modalidad general, sabiendo que el investigador ha sido seleccionado.

Sean $A$ y $B$ sucesos asociados a un experimento aleatorio tales que $P(A)=0.6$, $P(A|B)=0.4$ y $P(A|B^c)=0.8$, siendo $B^c$ el suceso complementario de $B$. a) Calcule $P(B)$. b) ¿Son $A$ y $B$ independientes? Justifique su respuesta.

Una carta escogida al azar es eliminada (sin ser vista) de un mazo de 52 cartas de póker, en el que hay 13 cartas de cada palo (diamantes, corazones, picas y tréboles). Una vez eliminada, se escoge al azar una carta, entre las que quedan en el mazo, y esta segunda carta es observada. a) Calcule la probabilidad de que la carta observada sea de diamantes. b) Si la carta observada no es diamantes, calcule la probabilidad de que la carta eliminada tampoco lo haya sido.

Supongamos que el espacio muestral de cierto experimento aleatorio es la unión de los sucesos $A$ y $B$. Esto es, $E=A\cup B$. Además suponga que $P(A\cap B)=0.2$ y $P(B)=0.7$. a) Calcule $P(A^c)$. b) Calcule $P(A^c\cup B^c)$.

Tres amigas (Ana, Berta y Carla) elaboran una lista para hacer una fiesta sorpresa a una compañera de trabajo. Ana enviará el 30% de las invitaciones, Berta el 40% y Carla las restantes. El 2% de los nombres de la lista de Ana son incorrectos y las invitaciones no llegarán a su destino. En las listas de Berta y Carla, los porcentajes de nombres incorrectos son 3% y 1%, respectivamente. a) Calcule la probabilidad de que una invitación no llegue a su destino. b) Si una invitación no llegó a su destino, ¿cuál es la probabilidad de que la haya enviado Ana?