Examen PAU Matemáticas II 2022 Extraordinaria — Madrid

En una comunidad autónoma tres de cada cinco alumnos de segundo de bachillerato están matriculados en la asignatura de Matemáticas II. Se eligen 6 alumnos al azar de entre todos los alumnos de segundo de bachillerato. a) Calcular la probabilidad de que exactamente cuatro de ellos estén matriculados en Matemáticas II. b) Calcular la probabilidad de que alguno de ellos esté matriculado en Matemáticas II. c) Si en un instituto hay matriculados en segundo de bachillerato 120 alumnos, calcular, aproximando la distribución binomial mediante una distribución normal, la probabilidad de que más de 60 de estos alumnos estén matriculados en Matemáticas II.

Se consideran las matrices reales $A=\begin{pmatrix}1&-1&k\\k&1&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\end{pmatrix}$. a) Calcule para qué valores del parámetro $k$ tiene inversa la matriz $AB$. Calcule la matriz inversa de $AB$ para $k=1$. b) Calcule $BA$ y discuta su rango en función del valor del parámetro real $k$. c) En el caso $k=1$, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea $BA$.

Sea la función $f(x)=\begin{cases}x & x\leq 0\\ x\ln(x) & x>0\end{cases}$. a) Estudie la continuidad y la derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$. b) Estudie los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f(x)$, así como los máximos y mínimos relativos. c) Calcule $\displaystyle\int_1^2 f(x)\,dx$.

Sean las rectas $r\equiv\begin{cases}x+y+2=0\\y-2z+1=0\end{cases}$ y $s\equiv\begin{cases}x=2-2t\\y=5+2t\\z=t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}$. a) Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas. b) Determine una ecuación del plano $\pi$ que contiene a las rectas $r$ y $s$. c) Sean $P$ y $Q$ los puntos de las rectas $r$ y $s$, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación $z=0$. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$.

Una empresa comercializa tres tipos de productos A, B y C. Cuatro de cada siete productos son de tipo A, dos de cada siete productos son de tipo B y el resto lo son de tipo C. A la exportación se destina un 40% de los productos tipo A, un 60% de los productos tipo B y un 20% de los productos tipo C. Elegido un producto al azar, se pide: a) Calcular la probabilidad de que el producto sea destinado a la exportación. b) Calcular la probabilidad de que sea del tipo C sabiendo que el producto es destinado a la exportación.