Álgebra lineal: ejercicios de selectividad de Matemáticas II (Madrid)

Dada la matriz real $A=\begin{pmatrix}1&\lambda-2&\lambda\\0&1&\lambda-1\\1&0&1\end{pmatrix}$, se pide: a) Discutir el rango de $A$ en función del parámetro $\lambda$. b) Para el caso $\lambda=2$, resolver la ecuación matricial $A^2-AX=I$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\\-1&-2\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}$. a) Resuelva la ecuación matricial $AX+X=B$. b1) Calcule el determinante de la matriz $(2C)^{100}$ aplicando propiedades de los determinantes.

Se consideran las matrices $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\\-1&-2\end{pmatrix}$, $C=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&-1&1\end{pmatrix}$. a) Resuelva la ecuación matricial $AX+X=B$. b2) Justifique si las matrices $A$ y $AB$ son invertibles.

Sean la matriz $A=\begin{pmatrix}4&1&0\\2&3&0\\3&2&2\end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad de orden 3. Se pide: a) Calcular el polinomio $P(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ y hallar las raíces reales del polinomio. b) Para $\lambda=5$, calcular un vector no nulo $\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ que satisfaga que $(A-\lambda I)\vec v=\vec0$.

En el baloncesto existen canastas que valen un punto, otras que valen dos y otras que valen tres puntos. Calcule el número de lanzamientos de uno, de dos y de tres puntos que realizó un equipo en un partido sabiendo que: • El equipo anotó 80 puntos con un acierto del 80% en tiros de uno, del 50% en tiros de dos y del 40% en tiros de tres. • La tercera parte del número de lanzamientos de dos fue igual a la quinta parte del resto de lanzamientos. • El doble del número de lanzamientos de tres es menor en cinco unidades al resto de lanzamientos.

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix}1&5\\-1&-3\end{pmatrix}$, se pide: a) Hallar las matrices simétricas $B$ que verifiquen $BA=(A+A^2)B$. b) Con la matriz $A_1=A$, se consideran las matrices $A_2=A_1^2+A_1$, $A_3=A_2^2+A_2$, $A_4=A_3^2+A_3$ y así sucesivamente. Hallar $A_{2025}$.

Sea el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $k$: $\begin{pmatrix}k&1&1\\k+1&1&-k\\1&k+1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\k\\2k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$. Se pide: a) (1.5 puntos) Discutir el sistema en función de los valores de $k$. b) (1 punto) Resolver el sistema para $k=0$.

Se tienen listones de madera de tres longitudes diferentes: largos, intermedios y cortos. Puestos uno tras otro, tanto con dos listones largos y cuatro intermedios como con tres intermedios y quince cortos se consigue la misma longitud total. Un listón largo supera en 17 cm la medida de uno intermedio más uno corto. Y con nueve listones cortos hemos de añadir 7 cm para igualar la longitud de uno intermedio seguido por uno largo. Se pide calcular la longitud de cada tipo de listón.

Consideremos las matrices reales $A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\1&-1&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}b&2b&b\\2b&3b&b\\b&b&b\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$, con $b\neq0$. Se pide: a) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BCB^{-1}=A$. b) Calcular el determinante de la matriz $AA^t$. c) Resolver el sistema $B\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$ para $b=1$.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro $\lambda$: $\begin{pmatrix}0&1&1\\\lambda-1&1&1\\1&\lambda-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\\lambda\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$, se pide: a) Discutir el sistema en función de los valores de $\lambda$. b) Resolver el sistema en el caso $\lambda=1$ y encontrar, si es posible, una solución con $x=5$.

Como es bien sabido, la siguiente igualdad de determinantes $\det(A+B)=\det A+\det B$ no es cierta en general. a) Si $A$ y $B$ son dos matrices para las que $\det(A+B)=\det A+\det B$, pruebe que entonces $\det\left((A+B)^2\right)=\det(A^2)+\det(B^2)+2\det(AB)$. b) Dadas las matrices $C=\begin{pmatrix}1&0&-1\\\alpha&1&0\\2&-1&\alpha\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&2\\-1&2&1\end{pmatrix}$, determine el único valor de $\alpha$ con el que sí se cumple la igualdad $\det(C+D)=\det C+\det D$. c) Para el valor $\alpha=-1$, resuelva el sistema homogéneo de ecuaciones lineales que tiene a $C$ como matriz de coeficientes.

En una obra, para transportar la tierra extraída para la construcción de los cimientos de un edificio, se usan tres tipos de camiones diferentes: A, B y C. Los camiones de tipo A tienen una capacidad de 14 toneladas, los de tipo B, de 24 toneladas y los de tipo C, de 28 toneladas. Habría que traer un camión más de tipo A para igualar al número de camiones restantes. El 10% de la capacidad de todos los camiones tipo B supone un séptimo de la de los de mayor tonelaje. Hoy, realizando un único viaje cada camión a máxima capacidad, se han extraído de la obra 302 toneladas de tierra. ¿Cuánta tierra ha sido transportada hoy por los camiones de cada tipo?

Dado el sistema $\begin{cases}(a+1)x+4y=0\\(a-1)y+z=3\\4x+2ay+z=3\end{cases}$, se pide: a) Discutirlo en función del parámetro $a$. b) Resolverlo para $a=3$. c) Resolverlo para $a=5$.

Dadas las matrices $A=\begin{pmatrix}2&1&0\\-1&0&2\end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix}b&0\\1&b\end{pmatrix}$, se pide: a) Calcular el determinante de $A^tA$. b) Calcular el rango de $BA$ en función de $b$. c) Calcular $B^{-1}$ para $b=2$. d) Para $b=1$, calcular $B^5$.

Dado el sistema $\begin{cases}-2x+y+kz=1\\kx-y-z=0\\-y+(k-1)z=3\end{cases}$, se pide: a) Discutirlo en función del parámetro $k$. b) Resolverlo para $k=3$. c) Resolverlo para $k=3/2$ y especificar, si es posible, una solución particular con $x=2$.

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$: $x - 2my + z = 1$ $mx + 2y - z = -1$ $x - y + z = 1$ a) Discuta el sistema en función de los valores de $m$. b) Resuelva el sistema para el valor $m = \dfrac{1}{2}$.

Tres primos, Pablo, Alejandro y Alicia, se van a repartir un premio de 9450 euros de forma directamente proporcional a sus edades. La suma de las edades de Pablo y Alejandro excede en tres años al doble de la edad de Alicia. Además, la edad de los tres primos juntos es de 45 años. Sabiendo que en el reparto del premio la diferencia entre lo que recibe Pablo y lo que recibe Alicia es de 420 euros, calcule las edades de los tres primos y el dinero que recibe cada uno por el premio.

En una estantería de una biblioteca hay ensayos, novelas y biografías. Tres de cada dieciséis libros de la estantería son ensayos. Las biografías junto con la tercera parte de los ensayos exceden en dos a las novelas. Si retiráramos la mitad de los ensayos y la quinta parte de las novelas quedarían ciento cinco libros. Calcule el número de libros de cada clase que hay en la estantería.

Se consideran las matrices reales $A=\begin{pmatrix}1&-1&k\\k&1&-1\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\\1&0\end{pmatrix}$. a) Calcule para qué valores del parámetro $k$ tiene inversa la matriz $AB$. Calcule la matriz inversa de $AB$ para $k=1$. b) Calcule $BA$ y discuta su rango en función del valor del parámetro real $k$. c) En el caso $k=1$, escriba un sistema incompatible de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya matriz de coeficientes sea $BA$.