Examen PAU Matemáticas II 2026 Ordinaria — Madrid

El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media $\mu=24$ horas y desviación típica $\sigma=3$ horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 21 horas. a) Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcule la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa. b) Un distribuidor recibe un lote de 10 teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese lote haya al menos 9 teléfonos con la batería no defectuosa?

Sabiendo que $P(B)=0.4$, $P(\overline{A\cup B})=0.4$ y $P(B|A)=0.2$, calcule las siguientes probabilidades: a) (1 punto) $P(\overline A)$ y $P(A\cap B)$. b) (1 punto) $P((A\cap B)|(A\cup B))$.

Sea $f(x)=\ln(x)$. Halle el área de la región acotada por la gráfica de $f(x)$, el eje de abscisas y la recta $x=e$.

Sea la función $f(x)=\begin{cases}3x^2-\sin(ax)+b & \text{si } x<0\\ \dfrac{2e^x}{1+x^2} & \text{si } x\geq0\end{cases}$. a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x=0$. b) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x=2$.