Examen PAU Matemáticas II 2025 Extraordinaria — Madrid

Sean los puntos $A(1,1,2)$, $B(2,-1,0)$, $C(-2,0,3)$ y $D(2,-3,-1)$ y la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{2}=y+1=\dfrac{z}{-1}$. a) Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos. b) Calcule el área de la cara del tetraedro $ABCD$ determinada por los puntos $A$, $B$ y $C$ y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice $D$. c) Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta determinada por los puntos $B$ y $D$.

Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,0,1)$, se pide: a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano paralelo al eje $OZ$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$. b) (1.5 puntos) Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano $z=1$ que diste una unidad tanto del punto $A$ como del punto $B$.

En base a un estudio de los datos antropométricos de la población laboral española en hombres se considera que la masa, en kilogramos, de un individuo de esta población es una variable normal de media 75.67 y desviación típica 11.05. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa entre 60 y 80 kilogramos. b) Calcular la probabilidad de que un hombre de esta población elegido al azar tenga masa superior a 100 kilogramos. c) Elegidos diez hombres distintos al azar en esta población, calcular la probabilidad de que no más de uno supere los 100 kilogramos.

La probabilidad de que un corredor sufra una caída en un día con lluvia es de 0.08 y en un día seco es de 0.004. La probabilidad de que llueva y se caiga es de 0.032. Hoy un corredor ha salido. Se pide: a) (1.25 puntos) Calcular la probabilidad de que vuelva a casa sin haberse caído. b) (1.25 puntos) Hallar la probabilidad de que, sabiendo que se ha caído, no esté lloviendo.