Geometría: ejercicios de selectividad de Matemáticas II (Madrid)

Dados el plano $\pi:2x+2y-z=13$ y la recta $r\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{4}$. a) Halle el punto simétrico del punto $P(2,0,0)$ respecto al plano $\pi$. b) Halle la distancia entre el plano $\pi$ y la recta $r$.

Pregunta 3. Dados el plano $\pi:2x+2y-z=13$ y la recta $r\equiv\dfrac{x-2}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{4}$. a) (1 punto) Halle el punto simétrico del punto $P(2,0,0)$ respecto al plano $\pi$. b2) (1 punto) Halle una ecuación del plano que contiene a la recta $r$ y es ortogonal al plano $\pi$.

Sean las rectas $r_1\equiv(x,y,z)=(1+t,1,0)$ y $r_2\equiv(x,y,z)=(1+s,s,0)$, $t,s\in\mathbb{R}$. a) Estudie la posición relativa de las rectas $r_1$ y $r_2$. b) Halle una recta $r_3$ tal que las intersecciones de $r_1$, $r_2$ y $r_3$ formen un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa esté contenida en $r_2$ y tenga longitud $\sqrt2$.

Se consideran el punto $P(1,2,1)$ y el plano de ecuación $2x-2y+z=1$. Se traza un cubo con una cara en el plano y un vértice en el punto $P$. a) Determine la longitud del lado de dicho cubo y su volumen. b) Halle otro vértice del cubo.

Dados la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{0}=\dfrac{z-2}{1}$ y el plano $\pi:x+2y-3z=1$, se pide: a) Hallar una ecuación del plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. b) Hallar una ecuación de la recta contenida en $\pi$ que corta perpendicularmente a $r$. c) Calcular los puntos de la recta $r$ cuya distancia al plano $\pi$ es $\sqrt{14}$.

Sean el punto $P(0,1,1)$ y el plano $\pi: x+y=2$. Se pide: a) (0.5 puntos) Hallar la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. b) (1 punto) Determinar el punto $Q$ del plano $\pi$ cuya distancia a $P$ es igual que la distancia de $P$ a $\pi$. c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por $P$ y los puntos de corte del plano $\pi$ con los ejes coordenados.

Sean los puntos $A(1,1,2)$, $B(2,-1,0)$, $C(-2,0,3)$ y $D(2,-3,-1)$ y la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{2}=y+1=\dfrac{z}{-1}$. a) Compruebe que los puntos no son coplanarios y calcule el volumen del tetraedro determinado por ellos. b) Calcule el área de la cara del tetraedro $ABCD$ determinada por los puntos $A$, $B$ y $C$ y la longitud de la altura del tetraedro que parte del vértice $D$. c) Calcule la distancia entre la recta $r$ y la recta determinada por los puntos $B$ y $D$.

Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,0,1)$, se pide: a) (1 punto) Hallar una ecuación del plano paralelo al eje $OZ$ y que pasa por los puntos $A$ y $B$. b) (1.5 puntos) Hallar una ecuación de una recta perpendicular al plano $z=1$ que diste una unidad tanto del punto $A$ como del punto $B$.

Dados los puntos $A(0,0,1)$ y $B(1,1,0)$, se pide: a) Hallar una ecuación del plano que pasa por los puntos $A$ y $B$ y es perpendicular al plano $z=0$. b) Hallar ecuaciones de dos rectas paralelas, $r_1$ y $r_2$, que pasen por los puntos $A$ y $B$ respectivamente, estén en el plano $x+z=1$ y tales que la distancia entre ellas sea $1$.

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$ de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que $P_1(1,1,1)$, $P_2(2,1,0)$ y $P_3(1,3,2)$, pero del cuarto punto $P_4(3,a,3)$ hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada. a) A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es $V=1$. También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es de $10$. Determine los posibles valores de $a$. b) Dado el punto $Q(3,3,3)$, se quiere imprimir ahora el paralelepípedo que tiene a los segmentos $P_1P_2$, $P_1P_3$ y $P_1Q$ como aristas. ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo?

Sean los puntos $P(1,-1,3)$ y $Q(2,1,-1)$: a) Determine una ecuación del plano respecto del cual ambos puntos son simétricos. b) El segmento $PQ$ es uno de los tres lados del triángulo cuya suma de los cuadrados de las longitudes de sus lados es 34 y el tercer vértice se encuentra en la recta $r\equiv x-2=y=z$. Calcule las coordenadas del tercer vértice sabiendo que ninguna de sus coordenadas es nula.

Dado el punto $P(5,-1,2)$ y las rectas: $r\equiv\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z}{1}$, $s\equiv\begin{cases}x-y=5\\x+z=3\end{cases}$, se pide: a) Estudiar la posición relativa de ambas rectas y hallar la distancia entre ellas. b) Determinar una ecuación de la recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta $r$.

Sean los puntos $A(1,-2,3)$, $B(0,2,-1)$ y $C(2,1,0)$. Se pide: a) Comprobar que forman un triángulo $T$ y hallar una ecuación del plano que los contiene. b) Calcular el corte de la recta que pasa por los puntos $A$ y $B$ con el plano $z=1$. c) Determinar el perímetro del triángulo $T$.

Dada la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z+1}{-2}$, el plano $\pi: x-z=2$ y el punto $A(1,1,1)$, se pide: a) Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$ y calcular su intersección, si existe. b) Calcular la proyección ortogonal del punto $A$ sobre el plano $\pi$. c) Calcular el punto simétrico del punto $A$ con respecto a la recta $r$.

Sean el plano $\pi: z=1$, los puntos $P(1,1,1)$ y $Q(0,0,1)$ y la recta $r$ que pasa por los puntos $P$ y $Q$. a) Verifique que los puntos $P$ y $Q$ pertenecen al plano $\pi$. b) Halle una recta paralela a $r$ contenida en el plano $z=0$. c) Halle una recta que pase por $P$ y tal que su proyección ortogonal sobre el plano $\pi$ sea la recta $r$, con la cual forme un ángulo de $\pi/4$ radianes.

Dados el plano $\pi: x+3y+2z+14=0$ y la recta $r\equiv\begin{cases}x=2\\z=5\end{cases}$, se pide: a) Hallar el punto del plano $\pi$ más próximo al origen de coordenadas. b) Calcular la proyección ortogonal del eje $OZ$ sobre el plano $\pi$. c) Hallar la recta con dirección perpendicular a $r$, que esté contenida en $\pi$, y que corte al eje $OZ$.

Con un dispositivo láser situado en el punto $P(1,1,1)$ se ha podido seguir la trayectoria de una partícula que se desplaza sobre la recta $r\equiv\begin{cases}2x-y=10\\x-z=-90\end{cases}$. a) Calcule un vector director de $r$ y la posición de la partícula cuando su trayectoria incide con el plano $z=0$. b) Calcule la posición más próxima de la partícula al dispositivo láser. c) Determine el ángulo entre el plano de ecuación $x+y=2$ y la recta $r$.

Sea el plano $\pi\equiv x+y+z=1$, la recta $r_1\equiv\begin{cases}x=1+\lambda\\y=1-\lambda\\z=-1\end{cases}$ y el punto $P(0,1,0)$. a) Verifique que la recta $r_1$ está contenida en el plano $\pi$ y que el punto $P$ pertenece al mismo. b) Halle una ecuación de la recta contenida en el plano $\pi$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $r_1$. c) Calcule una ecuación de la recta $r_2$ que pase por $P$ y sea paralela a $r_1$. Halle el área de un cuadrado que tenga dos de sus lados sobre las rectas $r_1$ y $r_2$.

Sean el plano $\pi\equiv z=x$ y los puntos $A(0,-1,0)$ y $B(0,1,0)$ pertenecientes al plano $\pi$. a) Si los puntos $A$ y $B$ son vértices contiguos de un cuadrado con vértices $\{A,B,C,D\}$ que se encuentra en el plano $\pi$, encuentre los posibles puntos $C$ y $D$. b) Si los puntos $A$ y $B$ son vértices opuestos de un cuadrado que se encuentra en el plano $\pi$, determine los otros dos vértices del mismo.

Sean las rectas $r\equiv\begin{cases}x+y+2=0\\y-2z+1=0\end{cases}$ y $s\equiv\begin{cases}x=2-2t\\y=5+2t\\z=t\end{cases},\ t\in\mathbb{R}$. a) Estudie la posición relativa de las rectas dadas y calcule la distancia entre ellas. b) Determine una ecuación del plano $\pi$ que contiene a las rectas $r$ y $s$. c) Sean $P$ y $Q$ los puntos de las rectas $r$ y $s$, respectivamente, que están contenidos en el plano de ecuación $z=0$. Calcular una ecuación de la recta que pasa por los puntos $P$ y $Q$.