Examen PAU Matemáticas II 2024 Ordinaria — Madrid

Sabiendo que $P(\bar A)=\dfrac{11}{20}$, $P(A|B)-P(B|A)=\dfrac{1}{24}$ y $P(A\cap\bar B)=\dfrac{3}{10}$, se pide: a) Calcular $P(A\cap B)$ y $P(B)$. b) Calcular $P(C)$, siendo $C$ otro suceso del espacio muestral, independiente de $A$ y que verifica que $P(A\cup C)=\dfrac{14}{25}$.

Consideremos las matrices reales $A=\begin{pmatrix}3&-1&1\\1&1&1\\1&-1&3\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}b&2b&b\\2b&3b&b\\b&b&b\end{pmatrix}$ y $C=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$, con $b\neq0$. Se pide: a) Encontrar todos los valores de $b$ para los que se verifica $BCB^{-1}=A$. b) Calcular el determinante de la matriz $AA^t$. c) Resolver el sistema $B\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}$ para $b=1$.

Calcule: a) $\displaystyle\int_1^e (x+2)\ln x\,dx$. b) $\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\left(\tan\dfrac{x}{2}\right)^{\left(\frac{1}{\cos x}\right)}$.

Al ordenador de una impresora 3D se le suministraron ayer las coordenadas de los cuatro vértices $P_1,P_2,P_3$ y $P_4$ de un tetraedro sólido, el cual construyó al momento. Se sabe que $P_1(1,1,1)$, $P_2(2,1,0)$ y $P_3(1,3,2)$, pero del cuarto punto $P_4(3,a,3)$ hoy no estamos seguros del valor de su segunda coordenada. a) A partir de la cantidad de material utilizado por la impresora sabemos que el volumen del tetraedro es $V=1$. También sabemos que la longitud de ninguna de sus aristas supera la altura de la impresora, que es de $10$. Determine los posibles valores de $a$. b) Dado el punto $Q(3,3,3)$, se quiere imprimir ahora el paralelepípedo que tiene a los segmentos $P_1P_2$, $P_1P_3$ y $P_1Q$ como aristas. ¿Cuáles serían los valores de las coordenadas de los ocho vértices del paralelepípedo?

Tenemos dos dados no trucados de seis caras, uno azul y uno rojo. Las caras están numeradas del 1 al 6. En un determinado juego, lanzamos los dos dados. Para calcular la puntuación obtenida, se sigue el siguiente procedimiento: si el número obtenido en el dado azul es par, se le suma el doble del número obtenido en el dado rojo; si el número obtenido en el dado azul es impar, se le suma el número obtenido en el dado rojo. Se pide: a) Calcular la probabilidad de obtener una puntuación de 10. Calcular la probabilidad de obtener una puntuación impar. b) Calcular la probabilidad de haber obtenido un número par en el dado azul sabiendo que la puntuación final ha sido 8. Calcular la probabilidad de haber obtenido un número impar en el dado rojo sabiendo que la puntuación final ha sido un número par.