Programació lineal: exercicis de selectivitat de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II (Comunitat Valenciana)
7 exercicis oficials de Programació lineal dels exàmens de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II de la PAU de Comunitat Valenciana, amb l'enunciat i un simulacre amb correcció.
Una granja vol crear una mescla fertilitzant líquida utilitzant dos compostos comercials, NutriMax i BioGrow. Cada litre d'aquests compostos aporta diferents quantitats d'unitats de nitrogen, fòsfor i potassi. Perquè el cultiu siga productiu, els agrònoms han determinat que s'han d'aplicar al terreny com a mínim 8 unitats de nitrogen, 6 unitats de fòsfor i 10 unitats de potassi. Se sap que un litre de NutriMex conté 2 unitats de nitrogen, 1 unitat de fòsfor i 1 unitat de potassi, mentre que un litre de BioGrow conté 1 unitat de nitrogen, 1 unitat de fòsfor i 2 unitats de potassi. El cost d'un litre de NutriMax és de 5 euros i el de BioGrow és de 4 euros. (Siguen x els litres de NutriMax i y els de BioGrow.)
Una empresa de joieria té dues màquines, A i B, amb les quals pot fer anells, polseres i collarets. L'empresa ha de decidir el nombre d'hores de treball de cadascuna de les màquines per a la setmana vinent. En cada hora de treball, la màquina A produeix 2 anells, 8 polseres i 4 collarets, mentre que la màquina B produeix 9 anells, 4 polseres i 10 collarets. Durant la setmana vinent l'empresa ha de produir almenys 80 anells, 96 polseres i 120 collarets. El cost per cada hora de treball de la màquina A és de 250 euros i el de la màquina B és de 600 euros. (Siguen x les hores de la màquina A i y les hores de la màquina B.)
Una empresa fabrica lots de tres productes: P1, P2 i P3. L'empresa té dues plantes de fabricació: A i B. En un dia de funcionament, la planta A fabrica 1 lot del producte P1, 2 lots del P2 i 1 lot del P3, mentre que la planta B fabrica 1 lot del producte P1, 1 del P2 i 5 del P3. Cada dia de funcionament de la planta A costa 60 milers d'euros i cada dia de funcionament de la planta B costa 75 milers d'euros. En els pròxims dies, l'empresa ha de produir almenys 6 lots del producte P1, almenys 8 lots del producte P2 i almenys 10 lots del producte P3.
a) Quants dies ha de funcionar cada planta perquè el cost de producció siga mínim? (3 punts)
b) Quin és aquest cost mínim? (0,5 punts)
Una empresa d'organització d'esdeveniments desitja posar a la venda dos tipus d'entrades per a un esdeveniment musical: entrades preferents i entrades estàndard, que es venen a 115€ i 90€, respectivament, encara que en les localitats preferents l'empresa té unes despeses de 5€ per entrada perquè s'hi serveix un aperitiu. La instal·lació de cada localitat preferent té un cost de 20€ i la de cada localitat estàndard de 10€; l'empresa disposa d'un pressupost de 1.000€ per a despeses d'instal·lació. L'aforament màxim és de 75 seients. a) Quantes entrades de cada tipus s'han de posar a la venda per a obtenir el màxim benefici possible? (3 punts) b) Quin és aquest benefici màxim? (0,5 punts)
Una agència de viatges organitza excursions a la muntanya i a la platja. L'agència obté 700 euros de benefici per cada excursió a la muntanya i 500 euros per cada excursió a la platja. L'agència disposa d'un total de 10 autobusos i 8 guies turístics per a les excursions. Cada excursió a la muntanya requereix 2 autobusos i 2 guies, mentre que cada excursió a la platja requereix 2 autobusos i 1 guia. a) Quantes excursions a la muntanya i quantes a la platja ha d'organitzar l'agència per a obtenir el màxim benefici possible? (3 punts) b) Quin és aquest benefici màxim? (0,5 punts)
Una fàbrica ven diàriament dos models de bolígrafs de color verd. La fabricació del model senzill requereix una unitat de tinta i una altra de plàstic, mentre que el més sofisticat requereix una unitat de tinta i una i mitja de plàstic. La fàbrica disposa de 2 500 unitats de tinta i 3 000 de plàstic, i a més, se sap que no es poden fabricar més de 2 000 unitats de bolígrafs senzills. Per cada bolígraf senzill l’empresa guanya 0,5 euros i per cadascun dels sofisticats, 0,7 euros.
a) Quantes unitats de cada tipus ha de produir la fàbrica per a maximitzar els guanys? (8 punts)
b) Quins són aquests guanys màxims? (2 punts)
El veterinari m’ha recomanat que el meu gos prenga diàriament un mínim de 8 unitats d’hidrats de carboni, un mínim de 46 unitats de proteïnes i un mínim de 12 unitats de greixos. En el mercat trobe dues marques A i B de menjar per a gossos. Una llanda de la marca A conté 4 unitats d’hidrats de carboni, 6 unitats de proteïnes i 1 unitat de greixos. Una llanda de la marca B conté 2 unitats d’hidrats de carboni, 20 unitats de proteïnes i 12 unitats de greixos. La llanda de la marca A costa 10 euros i la llanda de la marca B costa 16 euros.
a) Com hauré de combinar les dues marques per obtenir la dieta desitjada pel preu mínim? (8 punts)
b) Quin és el mínim preu que hauré de pagar? (2 punts)