Anàlisi: exercicis de selectivitat de Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials II (Comunitat Valenciana)

El valor dels actius d'una empresa, en milions d'euros, als x anys de la seua creació, ve donat per la funció f(x) = Ax + B/(x + 1) per a x ∈ [0, 5]. Se sap que, en el temps inicial, els actius tenien un valor de quatre milions d'euros i al cap d'un any valien un milió d'euros menys.

Es considera la funció: f(x) = (1+x²)/(1+x) si 0≤x<4; f(x) = 2x+4 si 4≤x<8; f(x) = 3x+60−x² si 8≤x≤9. Es demana: a) Estudiar la continuïtat de la funció en l'interval [0,9]. (0,75 punts) b) Estudiar el creixement i decreixement de la funció en l'interval [0,9]. (1,5 punts) c) Trobar els punts en què la funció arriba al màxim i al mínim, i quant val la funció en aquests punts. (0,5 punts) d) Calcular l'àrea de la regió delimitada per aquesta funció, l'eix OX, la recta d'equació x=8 i la recta d'equació x=9. (0,75 punts)

Es considera la funció: f(x) = (4x² − 36)/(x² − 2x − 8). Es demana: a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats. (0,5 punts) b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n'hi ha. (0,5 punts) c) Els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims locals, si n'hi ha. (2 punts) d) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats obtinguts en els apartats anteriors. (0,5 punts)

Quan la temperatura d'un hivernacle es manté a x graus centígrads, amb x entre 10 i 30, la producció (en quilograms) d'una certa hortalissa és donada per Q(x)=30x²+Ax+B−x³. Sabem que la producció màxima s'aconsegueix a 21 graus centígrads, i que aquesta producció màxima és de 5.300 kg. a) Determina els valors A i B. (1,5 punts) b) Determina els intervals de creixement i decreixement de Q(x). (1 punt) c) Per a temperatures entre 10 i 30 graus, s'obté mai una producció inferior a 1.000 kg? (1 punt)

Una empresa agrícola que es dedica al cultiu de fruites tropicals ha implementat un sistema de reg automatitzat per a optimitzar el consum d'aigua. La funció que descriu la necessitat d'aigua del cultiu (en m³/dia) després de x dies de creixement, per a x entre 0 i 30, és: f(x) = x³ − 4x² + 10 si 0 ≤ x ≤ 8; f(x) = 3x + 9 si 8 < x ≤ 20; f(x) = 70 si 20 < x ≤ 30. a) Estudia la continuïtat d'aquesta funció en l'interval [0, 30]. (0,75 punts) b) Determina en quins dies la necessitat d'aigua és màxima i mínima. (2 punts) c) Calcula l'àrea delimitada per aquesta funció i l'eix OX entre els dies 3 i 7. (0,75 punts)

Una empresa que fabrica pneumàtics per a cotxes ha estudiat el seu desgast, mesurat en una escala de 0 a 1, en funció del temps d'ús. L'empresa fabrica dos tipus de pneumàtics: A i B. Per a un pneumàtic A, el seu desgast DA després de x mesos d'ús, per a x entre 0 i 50, és donat per la funció DA(x) = 1/100 + 29x/3000. El desgast DB per a un pneumàtic B, per a x entre 0 i 50, és donat per DB(x) = x²/3000. a) Determina el nombre de mesos per al qual el desgast és el mateix per als dos tipus de pneumàtics. (1 punt) b) Determina per a quin interval de mesos el desgast és menor per al pneumàtic A i per a quin és menor per al B. (1 punt) c) Calcula l'àrea compresa entre les dues funcions en l'interval en què el desgast és menor per al pneumàtic A, i calcula-la també en l'interval en què és menor per al B. (1,5 punts)

Es considera la funció: f(x) = 1/2 − (1 + x²)/(x(2x + 4) + 2). Es demana: a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats. (0,5 punts) b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n'hi ha. (0,5 punts) c) Els intervals de creixement i decreixement, i els màxims i mínims locals, si n'hi ha. (2 punts) d) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats obtinguts en els apartats anteriors. (0,5 punts)

Atesa la funció f(x) = (x²-3x)/(x(x-3)+(x+1)), es demana a) El domini corresponent, i els punts de tall amb els eixos coordenats. (2 punts) b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha. (2 punts) c) Els intervals de creixement i decreixement. (2 punts) d) Els màxims i mínims locals, si n’hi ha. (2 punts) e) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors. (2 punts)

Atesa la funció: f(x) = x³+ax²+24x si x≤-1; (x-1)²+3 si x>-1, sent a un nombre real, es demana que: a) Determineu el valor de a perquè aquesta funció siga contínua. (2 punts) b) Suposem que a=9. Determineu els màxims i mínims locals que té aquesta funció en l’interval ]-9/2, -3/2[. (4 punts) c) Suposem que a=0. Calculeu l’àrea de la regió delimitada per aquesta funció, la recta d’equació x=2, la recta d’equació x=3 i l’eix OX. (4 punts)

Atesa la funció f(x) = 1/(3x²-1)², es demana: a) El domini corresponent, i els punts de tall amb els eixos coordenats. (2 punts) b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si n’hi ha. (2 punts) c) Els intervals de creixement i decreixement. (2 punts) d) Els màxims i mínims locals, si n’hi ha. (2 punts) e) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors. (2 punts)

Un agricultor estima que si aplica x quilos d’adob en un terreny, els seus ingressos seran -x²+60x+100 euros. a) Quina quantitat d’adob maximitza els seus ingressos? Quins són aquests ingressos màxims? (3 punts) b) Si el cost de l’adob és de 12 euros per quilo, quina quantitat d’adob maximitza els beneficis? Quins són aquests beneficis màxims? (4 punts) c) Quines quantitats d’adob garanteixen beneficis positius? (3 punts)

Atesa la funció f(x) = (x²+2x-15)/(2x²-3x-2), es demana: a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats. (2 punts) b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si existeixen. (2 punts) c) Els intervals de creixement i decreixement. (2 punts) d) Els màxims i mínims locals, si existeixen. (2 punts) e) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors. (2 punts)

Una petita empresa paga una quota fixa mensual a la seua companyia elèctrica de 1200 euros. A més de la quota fixa, els primers 250 kWh consumits els paga a 5 euros cadascun; els següents, fins als 900 kWh, a 3 euros cadascun; i la resta a 2 euros cadascun. a) A quant ascendeix el rebut d’un mes de l’empresa si aqueix mes va consumir 400 kWh? (2 punts) b) Obtín la funció que dona l’import del rebut mensual de l’empresa si consumeix x kWh. Dibuixa la seua gràfica. (5 punts) c) Una altra petita empresa, amb la mateixa quota fixa, paga tots els kWh a 3 euros. Pot ocórrer que en un mes les dues empreses consumisquen el mateix i a més els seus rebuts coincidisquen? En cas afirmatiu indica quin serà en aqueix mes el consum i l’import del rebut de totes dues empreses. (3 punts)

Atesa la funció f(x) = (4x-5)/(2(x²-1)), es demana: a) El seu domini i els punts de tall amb els eixos coordenats. (2 punts) b) Les asímptotes horitzontals i verticals, si existeixen. (2 punts) c) Els intervals de creixement i decreixement. (2 punts) d) Els màxims i mínims locals, si existeixen. (2 punts) e) La representació gràfica de la funció a partir dels resultats anteriors. (2 punts)

El consum d’energia (en Mwh) en una empresa metal·lúrgica a les x hores d’un dia ve donat per la següent funció: f(x) = 2x+14 si x∈[0,6]; f(x) = -x²+24x-82 si x∈]6,18]; f(x) = -x+34 si x∈]18,24]. a) Estudieu la continuïtat d’aquesta funció en l’interval [0,24]. (3 punts) b) Determineu a quines hores del dia el consum assoleix els seus valors màxim i mínim. Quins són aquests valors? (4 punts) c) Plantejant la integral adequada, calculeu el consum que es realitza entre les 8 del matí i les 10 del matí. (3 punts)