Examen selectivitat Matemàtiques II 2023 Ordinària — Comunitat Valenciana

Considereu la funció $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln(x+1)$. Obteniu: a) El domini i les asímptotes de $f(x)$. [2 punts] b) Els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$ i els seus màxims i mínims. [4 punts] c) L'àrea compresa entre la corba $y=f(x)$ i les rectes $y=0$, $x=1$ i $x=2$. [4 punts]

El tall vertical de l’entrada a la plaça emmurallada de cert poble té forma de paràbola, amb l’equació $y=-x^{2}+12$, en la qual $x$ i $y$ es mesuren en metres i $y=0$ representa el sòl. Es desitja posar-hi una porta rectangular de forma que les dues cantonades superiors estiguen en la paràbola i les inferiors en el sòl. La resta de l’entrada va tancada amb pedra. Calculeu: a) Les dimensions de la porta perquè tinga la major superfície possible. [6 punts] b) Obtingueu l’àrea de la part frontal de la porta de l’apartat anterior i l’àrea de la part frontal de l’entrada recoberta de pedra. [4 punts]

Tenim dues monedes $M_1$ i $M_2$. La probabilitat d’obtenir cara en llançar la moneda $M_1$ és $x$ i la probabilitat d’obtenir cara en llançar la moneda $M_2$ és $y$. a) Si llancem les dues monedes al mateix temps, calculeu les probabilitats de no obtenir cap cara, d’obtenir-ne només una cara i d’obtenir-ne dues. [3 punts] b) Després de llançar les dues monedes, tornem a llançar solament les monedes en les quals no hem obtingut cara. Calculeu les probabilitats que el resultat final siga cap cara, només una cara i dues cares. [7 punts]

Cada cap de setmana arriben a l’aeroport d’Alacant 161 vols. D’aquests vols, 95 procedeixen del territori nacional, 50 de la Unió Europea i 16 de països de fora de la Unió Europea. Sabent que es retarden el 5% dels vols de procedència nacional, el 4% dels de procedència de la Unió Europea i el 6,25% de la resta: a) Calculeu la probabilitat que es retarde un vol durant el cap de setmana. [5 punts] b) Calculeu la probabilitat que un vol que s’ha retardat procedisca de la Unió Europea. [5 punts] Els resultats s’han d’expressar en forma de fracció o en forma decimal amb quatre decimals d’aproximació.