Anàlisi: exercicis de selectivitat de Matemàtiques II (Comunitat Valenciana)

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) — Apartat 4.1 Considerem la funció real de variable real f(x) = (x + 1)/(x² + 1).

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) — Apartat 4.2 Un decorador vol pintar una paret rectangular de 12 metres de llarg per 3 d'alt. Per a fer-ho, suposa que el cantó inferior esquerre de la paret correspon a l'origen de coordenades d'un pla i pinta en la paret la corba d'equació f(x) = cos(πx/9) + 2. A continuació, el decorador pinta de roig la part que queda per damunt de la corba i de verd la que queda per davall.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) — Apartat 4.1 Un brot de grip es propaga durant uns dies. El coeficient de gravetat de la grip t dies després d'iniciar-se el brot ve donat per una funció F(t) amb una derivada F'(t) = t²(10 − t).

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) — Apartat 4.2 Un arquitecte dissenya un hivernacle menut per a un jardí. El terra de l'hivernacle té forma de triangle per a maximitzar-ne l'eficiència i la captació de llum. El perímetre total de l'hivernacle està fixat en 60 metres per a complir amb les restriccions mediambientals de la zona. Un dels costats del triangle fa x metres i els altres dos costats tenen la mateixa longitud.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) Una empresa de paqueteria vol dissenyar diferents models de caixes. Un d'aquests models consisteix en una caixa de 80 cm³ de volum, amb base i tapa quadrades. El preu del material de les parets laterals és d'1 cèntim per cm². La base i la tapa es construiran amb un material de qualitat superior a les cares laterals de la caixa i que és un 25% més car.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts), apartat 4.2 Donada la funció real de variable real f(x) = x|x − 2|. 4.2.1 (1 punt) Representa la regió compresa entre la gràfica de la funció f, l'eix d'abscisses (eix OX) i les rectes x = −1 i x = 5. 4.2.2 (1,5 punts) Calcula l'àrea de la regió anterior.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts), apartat 4.1 Donades les funcions f(x) = x⁴ − 7x² + 16 i g(x) = x², obtín: 4.1.1 (1,25 punts) Els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de la funció y = f(x). 4.1.2 (1,25 punts) L'àrea de la superfície finita tancada entre les corbes donades per f(x) i g(x).

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) Una costa marítima s'estén en línia recta cap a la dreta des d'un punt P de la costa. A 8 km de P hi ha una refineria situada a la costa. Hi ha també una plataforma petroliera situada a 6 km de distància de P, en la recta perpendicular a la costa des de P. Es construirà un oleoducte des de la plataforma fins a la refineria. El cost sota l'aigua és d'1 milió d'euros per km, i sobre terra, de 0,6 milions d'euros per km. Siga x la distància entre el primer punt on l'oleoducte toca la costa i la refineria.

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts) Donada la funció real de variable real f(x) = x/(x²+1).

PREGUNTA 4: ANÀLISI (2,5 punts), apartat 4.2 Donades les funcions reals de variable real f(x) = 1/x² i g(x) = 8x: 4.2.1 (0,5 punts) Determina el domini, les asímptotes i els intervals de creixement i decreixement de la funció f. 4.2.2 (0,25 punts) Dibuixa les gràfiques d'ambdues funcions. 4.2.3 (1,75 punts) Calcula l'àrea del recinte delimitat per l'eix d'abscisses, la recta x = 1 i les gràfiques de les dues funcions y = f(x) i y = g(x).

Siga la funció $f(x)=\dfrac{kx}{e^{2x}}$ en què $k$ és un paràmetre real. Es demana: a) Obtenir el domini i les asímptotes de $f(x)$. [3 punts] b) Estudiar els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$ i els seus màxims i mínims. [5 punts] c) Justificar que la funció sempre s’anul·la en algun punt de l’interval $[-1,1]$. [2 punts]

Siga el rectangle $R$ definit pels punts del pla $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ i $(-1,1)$. Es consideren les gràfiques de les funcions $f(x)=x^{2}$ i $g(x)=a$, $0<a<1$, contingudes dins de $R$. Obtenir el valor de $a$ que compleix que l'àrea compresa entre aquestes gràfiques és igual a un terç de l'àrea de $R$. [10 punts]

Es considera la funció $h(x)=ax+x^{2}$, en què $a$ és un paràmetre real. Es demana: a) El valor de $a$ que fa que la gràfica de la funció $y=h(x)$ tinga un mínim relatiu en l’abscissa $x=-\dfrac{3}{4}$. [3 punts] b) Per al valor $a$ de l’apartat anterior, dibuixeu les corbes $y=h(x)$ i $y=h'(x)$. [2 punts] c) Calculeu l’àrea del pla compresa entre totes dues corbes. [5 punts]

Es construeix una caixa de cartó sense tapa a partir d’un full rectangular de 16 per 10 cm. Això es fa retallant un quadrat de longitud $x$ en cada cantó, es plega el full i s’alcen els quatre laterals de la caixa. Calculeu: a) Les dimensions de la caixa perquè tinga el major volum possible. [8 punts] b) Aquest volum. [2 punts]

Considereu la funció $f(x)=\dfrac{1}{x}+\ln(x+1)$. Obteniu: a) El domini i les asímptotes de $f(x)$. [2 punts] b) Els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$ i els seus màxims i mínims. [4 punts] c) L'àrea compresa entre la corba $y=f(x)$ i les rectes $y=0$, $x=1$ i $x=2$. [4 punts]

El tall vertical de l’entrada a la plaça emmurallada de cert poble té forma de paràbola, amb l’equació $y=-x^{2}+12$, en la qual $x$ i $y$ es mesuren en metres i $y=0$ representa el sòl. Es desitja posar-hi una porta rectangular de forma que les dues cantonades superiors estiguen en la paràbola i les inferiors en el sòl. La resta de l’entrada va tancada amb pedra. Calculeu: a) Les dimensions de la porta perquè tinga la major superfície possible. [6 punts] b) Obtingueu l’àrea de la part frontal de la porta de l’apartat anterior i l’àrea de la part frontal de l’entrada recoberta de pedra. [4 punts]

Considerem la funció $f(x)=\dfrac{-2x^{2}+x+1}{2x^{2}+5x+2}$. a) Comproveu que $x=-\dfrac{1}{2}$ és una discontinuïtat evitable. [2 punts] b) Calculeu els intervals de creixement i decreixement. [4 punts] c) Obtingueu $\displaystyle\int f(x)\,dx$. [4 punts]

Una finestra rectangular està coronada per un semicercle tal com s'indica en la figura següent. [Figura: un rectangle amb un semicercle al damunt; el diàmetre del semicercle és el costat superior del rectangle.] Sabent que el perímetre de la finestra és de 20 metres calculeu: a) L'àrea de la finestra en funció de la seua amplària $x$. [3 punts] b) Les dimensions que ha de tenir la finestra perquè permeta la màxima entrada de llum. [5 punts] c) El valor d'aquesta àrea màxima. [2 punts]