Examen selectivitat Matemàtiques II 2024 Ordinària — Comunitat Valenciana

Siga la funció $f(x)=\dfrac{kx}{e^{2x}}$ en què $k$ és un paràmetre real. Es demana: a) Obtenir el domini i les asímptotes de $f(x)$. [3 punts] b) Estudiar els intervals de creixement i decreixement de $f(x)$ i els seus màxims i mínims. [5 punts] c) Justificar que la funció sempre s’anul·la en algun punt de l’interval $[-1,1]$. [2 punts]

Siga el rectangle $R$ definit pels punts del pla $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ i $(-1,1)$. Es consideren les gràfiques de les funcions $f(x)=x^{2}$ i $g(x)=a$, $0<a<1$, contingudes dins de $R$. Obtenir el valor de $a$ que compleix que l'àrea compresa entre aquestes gràfiques és igual a un terç de l'àrea de $R$. [10 punts]

Una bossa conté dues monedes que anomenem $M_1$ i $M_2$. La moneda $M_1$ és una moneda trucada que té impresa una cara en un dels seus costats i una creu en l’altre. La probabilitat d’obtenir cara amb la moneda $M_1$ és de 0,6. La moneda $M_2$ té una cara impresa en tots dos costats. a) Triem una moneda a l’atzar de la bossa, la llancem, anotem el resultat i la retornem a la bossa. Repetim aquesta acció tres vegades. 1. Quina és la probabilitat d’haver obtingut tres cares? [3 punts] 2. Quina és la probabilitat d’haver obtingut exactament una creu? [3 punts] b) Es tria a l’atzar una moneda de la bossa, es llança dues vegades i s’observen dues cares. Calcular la probabilitat que la moneda seleccionada siga la moneda $M_1$. Responeu a la mateixa pregunta per a la moneda $M_2$. [4 punts]

Un comercial de venda per telèfon sap que en el 30% de les seues telefonades no aconsegueix una venda. Aquest comercial fa 10 telefonades. a) Calculeu la probabilitat que aconseguisca més de 7 vendes. [3 punts] b) Calculeu la probabilitat que aconseguisca almenys 5 vendes. [3 punts] c) Calculeu la probabilitat que aconseguisca un mínim de 3 vendes i un màxim de 8 vendes. [4 punts] Els resultats han d’expressar-se en forma de fracció o en forma decimal amb quatre decimals d’aproximació.