Camps gravitatoris: exercicis de selectivitat de Física (Catalunya)

Camps gravitatoris — OPCIÓ A La nau espacial Hera (m_H = 1 130 kg) ha d'arribar a un sistema d'asteroides per a recollir-ne informació. Per aconseguir-ho, el 2025 va passar a prop de Mart i en va aprofitar la gravetat per a accelerar. Dades: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massa de Mart: M_M = 6,42 × 10²³ kg. Radi de Mart: R_M = 3,39 × 10³ km. Semieix major Sol-Terra: a_ST = 1,50 × 10⁸ km. Tercera llei de Kepler: T²/a³ = constant, on a és el semieix major de l'òrbita.

Camps gravitatoris — OPCIÓ B La sonda Mars Global Surveyor de la NASA es va llançar l'any 1996 i va acabar la missió l'any 2006. Aquesta missió va permetre elaborar un primer mapa de la superfície de Mart. La seva òrbita al voltant de Mart era estacionària, és a dir, era una òrbita circular amb un període igual a la duració d'un dia marcià. Dades: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massa de Mart: M_M = 6,42 × 10²³ kg. Radi de Mart: R_M = 3,39 × 10³ km. Dia marcià: 24 h 37 min. L'energia mecànica d'una òrbita el·líptica és E = −G M m / (2a), amb a el semieix de l'òrbita.

Camps gravitatoris Starlink és una constel·lació de satèl·lits que ofereix serveis d'Internet de banda ampla utilitzant òrbites terrestres baixes per a fer més ràpida la comunicació. Cada satèl·lit té una massa de 227 kg i descriu una òrbita circular a una altura de 550 km per sobre de la superfície terrestre. Dades: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massa de la Terra: M_T = 5,98 × 10²⁴ kg. Radi de la Terra: R_T = 6 370 km.

Camps gravitatoris — OPCIÓ A Dades: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massa del Sol: M_S = 1,99 × 10³⁰ kg. Distància mitjana Sol-Terra: R_ST = 1,496 × 10⁸ km. Distància Sol-periheli: R_P = 1,475 × 10⁸ km. Distància Sol-afeli: R_A = 1,526 × 10⁸ km.

Camps gravitatoris — OPCIÓ B Al voltant de l'estrella Tau Ceti orbiten dos planetes que es trobarien en zona habitable i que, per tant, podrien contenir aigua líquida. Un d'aquests planetes es coneix com a Tau Ceti e. Dades: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massa de l'estrella Tau Ceti: M_T = 1,56 × 10³⁰ kg. Radi de l'òrbita del planeta Tau Ceti e = 8,05 × 10¹⁰ m. Massa del planeta Tau Ceti e: M_Te = 2,26 × 10²⁵ kg. Radi del planeta Tau Ceti e: R_Te = 1,15 × 10⁷ m.

Camps gravitatoris La nau BepiColombo, de 2 700 kg de massa, sobrevola Mercuri per estudiar el planeta. Dades: G = 6,67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻². Massa de Mercuri: M_M = 3,285 × 10²³ kg. Radi de Mercuri: R_M = 2,44 × 10³ km.

Camps gravitatoris. La brossa espacial deixada per satèl·lits antics i els seus coets llançadors s'està convertint en un perill per a altres satèl·lits. El novembre de 2023, durant unes tasques de reparació, dos astronautes es van deixar una caixa d'eines a l'exterior de l'Estació Espacial Internacional (EEI). Dades: $G=6{,}67\cdot10^{-11}$ N m² kg⁻². Massa de la Terra: $M_T=5{,}98\cdot10^{24}$ kg. Radi de la Terra: $R_T=6{,}37\cdot10^{6}$ m. Massa de l'EEI: $M_{EEI}=430\cdot10^{3}$ kg.

El telescopi James Webb El telescopi espacial James Webb és un observatori espacial que estudia l'Univers a partir de llum infraroja. Fou llançat el 25 de desembre de 2021 i gira amb una òrbita circular al voltant del Sol al punt de Lagrange 2 (L2) del sistema Sol-Terra. Aquest punt està alineat amb el Sol i la Terra i es troba a una distància d'$1{,}50 \times 10^{6}$ km de la Terra i a una distància de $151{,}1 \times 10^{6}$ km del Sol (les dues distàncies estan calculades respecte als centres geomètrics dels objectes). Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². $M_{Sol} = 1{,}99 \times 10^{30}$ kg. $M_{Terra} = 5{,}98 \times 10^{24}$ kg. Massa del telescopi James Webb: $M_{JW} = 6\,161$ kg. $R_{Terra} = 6\,371$ km.

Planetes en ressonància Els sistemes planetaris tendeixen a formar-se en ressonància. Això vol dir que, quan un planeta completa $n$ òrbites, el planeta veí en completa $m$, en què $n$ i $m$ són nombres enters. El novembre de 2023 la revista Nature publicava el descobriment de sis planetes que orbitaven en ressonància al voltant de l'estrella HD110067. Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². Massa de la Terra, $M_T = 5{,}98 \times 10^{24}$ kg. Massa del Sol, $M_S = 1{,}98 \times 10^{30}$ kg.

BepiColombo BepiColombo és una missió espacial que té per objectiu l'exploració de Mercuri. La missió va ser llançada l'any 2018, i hi arribarà el 2025. Un cop allà, posarà en òrbita dos satèl·lits al voltant del planeta. Un dels satèl·lits és el Mercury Planetary Orbiter (MPO), construït per l'Agència Espacial Europea, que orbitarà al voltant de Mercuri amb un radi orbital mitjà de 3 360 km. Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². Massa de Mercuri, $M_M = 3{,}285 \times 10^{23}$ kg. Any terrestre = 365,25 dies.

Sagitari A* El Premi Nobel de Física de l'any 2020 es va concedir a tres científics: Andrea Ghez, Reinhard Genzel i Roger Penrose (Ghez és la quarta dona de la història que aconsegueix un Nobel de Física). En concret, Ghez i Genzel van ser guardonats per les seves deduccions sobre Sagitari A* (el forat negre supermassiu del centre de la Via Làctia) a partir de l'observació de les òrbites d'estels propers. La gràfica adjunta mostra la intensitat del camp gravitatori provocat per Sagitari A* en funció de la distància. [Gràfica: acceleració de la gravetat g (m/s²) en funció de la distància (×10¹³ m), de 2 a 7 ·10¹³ m; corba decreixent del tipus 1/r²: g ≈ 1,35 m/s² a 2·10¹³ m, g = 0,6 m/s² a 3·10¹³ m, g ≈ 0,34 m/s² a 4·10¹³ m, g ≈ 0,22 m/s² a 5·10¹³ m i g ≈ 0,11 m/s² a 7·10¹³ m.] Nota: Podeu negligir els efectes relativistes i podeu suposar que la llei de la gravitació universal és vàlida. Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². $M_{Sol} = 1{,}99 \times 10^{30}$ kg. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹.

La missió DART El mes de novembre del 2021, la NASA va llançar la missió DART (Double Asteroid Redirection Test). Aquesta missió té per objectiu canviar l'òrbita de Dimorphos, un petit asteroide que orbita al voltant de Didymos, que és un asteroide més gran. [Esquema de la missió DART (font: NASA): Dimorphos orbita al voltant de Didymos; la nau Dart l'impacta («L'impacte altera l'òrbita») i Dimorphos passa de l'«òrbita original» a una «nova òrbita» de radi menor, interior a l'original. També s'hi veu el satèl·lit LICIACube. La imatge no està escalada: les proporcions entre les òrbites i els objectes no es corresponen a les escales reals.] Dada: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². Nota: Considereu que les òrbites són circulars i que els dos asteroides són esfèrics.

Fobos i Deimos Els dos satèl·lits de Mart, Fobos i Deimos, porten el nom dels fills bessons d'Afrodita i Ares. En la mitologia romana, Ares, déu de la guerra, s'identifica amb Mart. Els dos satèl·lits tenen forma irregular, però els podem aproximar a una esfera de diàmetre 22,2 km per a Fobos i de 12,6 km per a Deimos. Per tant, comparats amb la Lluna, que té un diàmetre de 3 475 km, són petits. El radi orbital mitjà (distància entre els centres dels dos objectes) de Fobos al voltant de Mart és de 9 377 km i el seu període de revolució és de 7 hores, 39 minuts i 14 segons. Sabent que el radi orbital mitjà de Deimos és de 23 460 km, determineu a partir d'aquestes dades: Nota: Considereu que els dos satèl·lits descriuen una trajectòria circular al voltant de Mart. Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². $M_{Fobos} = 1{,}10 \times 10^{16}$ kg. $M_{Deimos} = 2{,}00 \times 10^{15}$ kg. $R_{Mart} = 3\,390$ km.

Edmond Halley, contemporani d'Isaac Newton, va descobrir que tres cometes descrits el 1531, el 1607 i el 1682 eren, en realitat, un mateix cometa, el cometa Halley. Aquest cometa descriu una òrbita el·líptica amb un període de 76 anys, aproximadament. Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². $m_{\text{Sol}} = 1{,}99 \times 10^{30}$ kg. 1 ua $= 1{,}50 \times 10^{11}$ m.

Dades: $M_{\text{Terra}} = 81{,}3\, M_{\text{Lluna}}$, $R_{\text{Terra}} = 3{,}67\, R_{\text{Lluna}}$.

El juliol del 2020 la NASA va posar en marxa una missió espacial que, entre altres tasques, havia de fer arribar el vehicle d'exploració *Perseverance* a la superfície de Mart. El 18 de febrer de 2021 va tenir lloc l'aterratge del vehicle. En la darrera etapa d'aquest procés complex d'aterratge, una grua fa baixar d'una manera controlada el vehicle des d'una altura de 20,0 m per sobre de la superfície de Mart. Durant tot aquest recorregut, la intensitat del camp gravitatori es pot considerar uniforme. [Figura: quatre esquemes a), b), c) i d); en cadascun hi ha la superfície de Mart a baix, el vehicle penjat de la grua a dalt (a 20 m de la superfície) i línies. a) línies horitzontals amb fletxes cap a la dreta; b) línies verticals amb fletxes cap avall; c) línies horitzontals sense fletxes; d) línies verticals sense fletxes.] Dada: La massa del vehicle és 1 025 kg.

El 20 de juliol de 1969, la missió nord-americana Apollo 11 va aconseguir que l'ésser humà trepitgés per primera vegada la Lluna. Dades: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻². $m_{\text{Lluna}} = 7{,}35 \times 10^{22}$ kg. $m_{\text{nau}} = 45{,}7 \times 10^{3}$ kg. $r_{\text{Lluna}} = 1{,}74 \times 10^{3}$ km.

Gràcies a les valuoses dades sobre les posicions dels astres que Tycho Brahe va recollir al llarg de la seva vida, Johannes Kepler va poder formular les seves famoses tres lleis. [Taula. Planeta; radi de l'òrbita ($10^9$ m); període (anys). Mercuri: 57,90; 0,240 8. Venus: 108,2; 0,615 2. Terra: 149,6; 1,000. Mart: 228,0; 1,881.] Dada: $G = 6{,}67 \times 10^{-11}$ N m² kg⁻².

Un dels mètodes emprats per a detectar exoplanetes (planetes extrasolars) és l'observació del trànsit planetari, un fenomen astronòmic que s'esdevé quan un planeta passa per davant de l'estel al voltant del qual orbita i que es percep des de la Terra per la disminució de la llum de l'estel. El gràfic següent mostra la variació de lluminositat provocada pel trànsit d'un planeta que descriu una òrbita circular al voltant d'un estel. Aquest estel té una massa pràcticament idèntica a la massa del Sol. Considereu que la constant de Kepler d'aquest sistema és igual a la del Sistema Solar. [Gràfic: lluminositat relativa (de 0,992 a 1,002) en funció del temps (en dies, de 0 a 19). La lluminositat és d'1,000 aproximadament, i hi ha tres caigudes fins a uns 0,993-0,995: la primera al voltant del dia 1, la segona al voltant del dia 9,5 i la tercera al voltant del dia 18.] Dada: Radi orbital mitjà de la Terra = 1,00 ua = $1{,}50 \times 10^{11}$ m.