Física moderna: exercicis de selectivitat de Física (Catalunya)

Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules Un dels accidents nuclears més importants dels darrers temps va ser el de Fukushima, l'11 de març de 2011. Les mesures de l'activitat radioactiva que es van fer al cap de cinc anys van mostrar que un tanc de 8,60 × 10⁵ m³ d'aigua contaminada amb triti radioactiu produïa una activitat de 760 TBq. Dada: Període de semidesintegració del triti: 4 500 dies.

Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules El radó és un gas noble radioactiu que es produeix de manera natural al subsol com a resultat de la cadena de desintegració de l'urani. El radó es pot acumular en espais tancats com ara soterranis. La inhalació de concentracions superiors a 300 Bq m⁻³ d'aquest gas durant períodes prolongats incrementa significativament el risc de patir càncer de pulmó. La figura mostra la cadena: ²³⁸₉₂U (4,5·10⁹ anys) → ²³⁴₉₀Th (24,1 dies) → ²³⁴₉₁Pa (1,17 min) → ²³⁴₉₂U (245 500 anys) → ²³⁰₉₀Th (75 380 anys) → ²²⁶₈₈Ra (1 602 anys) → ²²²₈₆Rn (3,82 dies). Dades: Nombre d'Avogadro: N_A = 6,022 × 10²³. m(²²²₈₆Rn) = 222 g mol⁻¹. El període de semidesintegració del ²²²₈₆Rn és de 3,82 dies.

Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules — OPCIÓ A El potassi (Z = 19) constitueix el 0,36 % de la nostra massa corporal i el 0,012 % del potassi és potassi 40. L'isòtop potassi 40 és radioactiu, té una massa molar de 40,0 g/mol i un període de semidesintegració d'1,30 × 10⁹ anys. Dada: Nombre d'Avogadro: N_A = 6,022 × 10²³.

Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules — OPCIÓ B En un experiment d'efecte fotoelèctric, fem incidir una llum monocromàtica sobre diferents superfícies metàl·liques. Els treballs d'extracció dels metalls utilitzats són: cesi (Cs) 2,14 eV; sodi (Na) 2,75 eV; potassi (K) 2,30 eV; calci (Ca) 2,87 eV; alumini (Al) 4,28 eV. Dades: càrrega de l'electró |e| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C. Massa de l'electró m_e = 9,11 × 10⁻³¹ kg. c = 3,00 × 10⁸ m s⁻¹. 1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J. h = 6,63 × 10⁻³⁴ J s. Massa relativista: m = m₀ / √(1 − v²/c²).

Camps electromagnètics — OPCIÓ B El model de l'àtom d'hidrogen de Bohr suposa que l'electró descriu una òrbita circular al voltant del protó i que el moment angular de l'òrbita és un múltiple enter de la constant de Planck, L = n · h/(2π), on n és un nombre natural. Dades: |e| = 1,602 × 10⁻¹⁹ C. k = 1/(4π ε₀) = 8,99 × 10⁹ N m² C⁻². m = 9,11 × 10⁻³¹ kg. h = 6,63 × 10⁻³⁴ J s.

Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules L'isòtop del iode 131 (Z = 53) es fa servir en radioteràpia per a tractar determinades malalties de la tiroide, especialment l'hipertiroïdisme i el càncer de tiroide. Aquest isòtop es desintegra i dona lloc al xenó 131 estable (Z = 54). Dades: Nombre d'Avogadro: N_A = 6,022 × 10²³. m(¹³¹I) = 131 g/mol. El període de semidesintegració del iode 131 és de 8,02 dies.

Física relativista, quàntica, nuclear i de partícules. L'isòtop del sodi ²⁴₁₁Na té un excés de neutrons i sabem que és un emissor beta. Dades: Z (F, Ne, Na, Mg, Al) = 9, 10, 11, 12, 13.

Datació amb rubidi L'isòtop de rubidi $^{87}_{37}\text{Rb}$ es desintegra i forma $^{87}_{38}\text{Sr}$, que té un període de semidesintegració de $4{,}92 \times 10^{10}$ anys.

Formació i desintegració del plutoni El $^{239}_{94}\text{Pu}$ és un dels residus nuclears generats a les centrals nuclears de fissió. En una primera reacció nuclear, un neutró d'alta energia impacta contra el nucli d'urani 238 i forma urani 239. L'urani 239 experimenta ràpidament una desintegració β⁻ i es forma neptuni 239. Una segona desintegració β⁻ transforma el neptuni 239 en plutoni. Dades: $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. El nombre atòmic de l'urani és 92. Masses nuclears (en kg): partícula alfa, $6{,}642\,835 \times 10^{-27}$; nucli de plutoni 239, $3{,}968\,698 \times 10^{-25}$; nucli d'urani 235, $3{,}902\,158 \times 10^{-25}$.

Datació amb carboni 14 a la Draga Al jaciment neolític de la Draga (Banyoles) s'utilitza el mètode del carboni 14 ($^{14}$C) per a la datació de restes. El $^{14}$C és un isòtop radioactiu que es produeix a l'atmosfera de manera continuada quan neutrons provinents dels raigs còsmics xoquen amb els nuclis de nitrogen ($^{14}$N). Els éssers vius l'incorporem a l'organisme mentre interactuem amb l'atmosfera, però, a partir del moment de la mort, el $^{14}$C comença a desintegrar-se novament en $^{14}$N, amb un període de semidesintegració de 5 730 anys. La datació d'una mostra d'os d'animal del sector D de la Draga és de 6 010 anys. Dades: El nombre atòmic del carboni és $Z = 6$. El nombre atòmic del nitrogen és $Z = 7$.

El poloni El poloni ($Z = 84$) fou descobert el 1898 per Marie Sklodowska-Curie i Pierre Curie. L'isòtop de poloni amb un temps de semidesintegració més llarg és el Po-210, que el té de 138 dies. Es desintegra per emissió d'una partícula alfa i origina un isòtop estable de plom (Pb). Dades: $|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C. $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99 \times 10^{9}$ N m² C⁻².

Efecte fotoelèctric Observem que en una mostra metàl·lica apareix l'efecte fotoelèctric quan la il·luminem amb llum monocromàtica de longituds d'ona més petites o iguals a 650 nm. Dades: $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C. $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg. $h = 6{,}626 \times 10^{-34}$ J s.

El cicle del bismut Dins de la nucleosíntesi, el procés S es dona a les supernoves i és el responsable d'aproximadament la meitat dels elements més pesants que el ferro. Al final del procés S apareix un cicle tancat de bismut. La primera part d'aquest cicle correspon a la cadena de reaccions següent: el bismut $^{209}_{83}\text{Bi}$ captura un neutró i cedeix rajos gamma. El producte d'aquesta primera reacció es desintegra en poloni seguint un decaïment β⁻. En la tercera desintegració, el nucli de poloni es desintegra en un nucli de plom i una partícula α.

El mètode del potencial invers El 1921 Albert Einstein (1897-1955) va guanyar el Premi Nobel de Física pel seu treball sobre l'explicació de l'efecte fotoelèctric. Amb el mètode del potencial invers es pot trobar l'energia cinètica màxima dels electrons que són emesos quan s'il·lumina una cel·la fotoelèctrica amb llum monocromàtica. Aquest mètode consisteix a aplicar un potencial entre l'ànode i el càtode per a frenar aquests electrons i impedir que arribin a l'ànode de la cèl·lula fotoelèctrica. [Esquema: cel·la fotoelèctrica amb el càtode a l'esquerra i l'ànode a la dreta; la llum incideix sobre el càtode i en surten electrons amb velocitat $\vec v$ cap a l'ànode. Les plaques estan connectades a un circuit amb un amperímetre, un voltímetre i una font de tensió.] Dades: $|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹.

La fissió de l'urani 235 En les centrals nuclears es produeix electricitat a partir de la fissió de nuclis d'urani. Aquesta energia s'utilitza per a generar vapor d'aigua, que fa girar una turbina. L'urani és un element químic metàl·lic de símbol U i nombre atòmic 92. A la natura trobem diferents isòtops de l'urani, però els més comuns són l'urani 238 i l'urani 235. Dades: $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. 1 eV = $1{,}602 \times 10^{-19}$ J. Masses nuclears (en kg): protó, $1{,}672\,622 \times 10^{-27}$; neutró, $1{,}674\,927 \times 10^{-27}$; nucli d'urani 235, $3{,}902\,158 \times 10^{-25}$. Nombre atòmic: Kr, Z = 36; Rb, Z = 37; Sr, Z = 38; Ba, Z = 56; La, Z = 57; U, Z = 92.

Sensor d'ultraviolat Volem construir un sensor de radiació ultraviolada que sigui sensible a radiacions de longitud d'ona de 300 nm. Decidim utilitzar l'efecte fotoelèctric com a principi del sensor. Així doncs, utilitzarem una cèl·lula fotoelèctrica que emeti electrons. Per al bon funcionament d'aquesta cèl·lula, cal que l'energia mínima dels electrons emesos sigui d'1 eV. Dades: 1 eV = $1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s.

La fusió nuclear Arran de l'anunci fet el desembre del 2022 pels Estats Units que s'havia aconseguit per primera vegada la fusió nuclear amb un guany net d'energia, alguns mitjans de comunicació han publicat que un got d'aigua pot produir l'energia que consumirà una família de quatre membres durant tota la vida. Per una altra banda, a dins del Sol hi ha una pressió i una temperatura tan elevades que els àtoms d'hidrogen es fusionen i es transformen en heli. El principal procés de fusió nuclear que té lloc al Sol és la cadena protó-protó. El balanç global d'aquest procés és que quatre protons s'uneixen per formar un nucli d'heli. Dades: $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $N_A = 6{,}022 \times 10^{23}$. Masses nuclears (en kg): protó, $1{,}672\,621\,92 \times 10^{-27}$; nucli d'heli, $6{,}642\,835\,33 \times 10^{-27}$.

El tub UVA i l'efecte fotoelèctric En un centre d'estètica disposen d'una màquina de bronzejar amb radiació ultraviolada. Cal canviar-ne un dels tubs fluorescents perquè s'ha fet malbé per l'ús. El tub que cal substituir indica: «Llum UVA 300 nm 20 W 600 mm». Atès que el fabricant de la màquina ha fet fallida, es busca un tub fluorescent compatible. Després de fer-ne una selecció, es tria un llum que pot fer servei. A les especificacions del producte triat hi diu: «Llum UVA 350 nm 20 W 600 mm T8 làmpada fluorescent». Com que els dos tubs consumeixen la mateixa potència, emeten el mateix nombre de fotons. L'aparell disposa d'un dispositiu de seguretat basat en l'efecte fotoelèctric que apaga el fluorescent quan el nombre d'electrons emesos per unitat de temps és superior a $2{,}50 \times 10^{15}$ s⁻¹. Aquest dispositiu està format per una placa de sodi (la funció de treball és 2,40 eV) i, amb els tubs originals, el nombre d'electrons que abandona la superfície de sodi per unitat de temps és $2{,}00 \times 10^{15}$ s⁻¹. Dades: 1 eV = $1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s.

En un accident de trànsit es veu involucrat un camió que transporta diferents tipus de residus nuclears. A conseqüència de l'impacte, part de la càrrega ha perdut l'embalatge i no es pot identificar el material recollit. Per l'aspecte, s'ha pogut saber que només s'han vessat dos tipus diferents de residus, però no és possible identificar amb certesa quin és cadascun. Per tal de gestionar correctament el material recollit, els agents de neteja encarreguen un estudi de l'activitat radioactiva que tenen. Es prenen dues mostres d'1 µg i s'obtenen els resultats següents: [Taula. Temps (min): 60; 150; 240; 330; 420; 510; 600; 690; 780; 870. Mostra A (Bq): 1 535; 1 025; 678; 484; 315; 238; 139; 103; 78; 45. Mostra B (Bq): 260; 215; 170; 145; 114; 92; 82; 68; 55; 47.]

A l'abadia de Westminster, a Anglaterra, s'hi coronen les reines i els reis britànics i s'hi enterren o honoren els personatges més distingits. També s'hi ret homenatge a una equació, l'equació de Dirac, que data de l'any 1928 i és l'única que hi ha per ara. L'equació de Dirac és un exemple d'equació amb conseqüències inesperades. Amb aquesta equació es va predir l'antimatèria a partir de la deducció de l'existència de l'antielectró, que després va passar a anomenar-se positró. El positró va ser descobert experimentalment el 1932, un any després d'haver estat predit. Dades: Massa de l'electró = massa del positró = $9{,}11 \times 10^{-31}$ kg. $1\ \text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s.

El gas radó és una de les fonts de radioactivitat natural més abundants de la Terra. El radó prové de la descomposició d'elements radioactius naturals (com l'urani i el tori). El gas es difon a través del sòl fins a arribar a la superfície. La cadena de desintegració del radó $^{222}_{86}\mathrm{Rn}$ inclou vuit desintegracions radioactives, fins que es forma l'isòtop estable del plom $^{206}_{82}\mathrm{Pb}$. En la figura següent es representen els nuclis que formen part d'aquesta cadena de desintegració nuclear. Al costat de cada nucli, se n'indica el període de semidesintegració. [Figura: cadena de desintegració. $^{222}_{86}$Rn (2,65 dies) → $^{218}_{84}$Po (2,15 min) → $^{214}_{82}$Pb (18,7 min) → $^{214}_{83}$Bi (13,9 min) → $^{214}_{84}$Po (0,00011 s) → $^{210}_{82}$Pb (15,3 anys) → $^{210}_{83}$Bi (3,47 dies) → $^{210}_{84}$Po (95,7 dies) → $^{206}_{82}$Pb (estable).]

Considereu un experiment d'efecte fotoelèctric en què el càtode és una làmina de cesi que té una freqüència llindar de $4{,}59 \times 10^{14}$ Hz. Dades: $1\ \text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s.

Segons els mesuraments efectuats amb tècniques de datació radiomètrica, les roques procedents de la Lluna són molt més antigues que les roques de la Terra. La roca més jove recollida a la Lluna (3 200 milions d'anys) és més antiga que les roques més antigues localitzades a la Terra. La nit del 4 d'agost del 2018, els residents de Neftejugansk i Surgut, al nord de Rússia, van poder observar la caiguda d'un meteorit. L'endemà diverses persones afirmaven haver trobat fragments procedents de la Lluna. Una de les mostres recollides presenta una certa activitat radioactiva deguda a la desintegració del $^{40}_{19}\mathrm{K}$ en $^{40}_{18}\mathrm{Ar}$ amb un període de semidesintegració d'$1{,}248 \times 10^{9}$ anys. En aquesta mostra es van trobar 0,84 µg de $^{40}_{18}\mathrm{Ar}$ i 0,10 µg de $^{40}_{19}\mathrm{K}$.

El 1916 Robert A. Millikan va determinar la constant de Planck a partir d'uns mesuraments molt acurats de l'energia dels electrons emesos i de la freqüència de la llum incident en uns experiments sobre l'efecte fotoelèctric. Paradoxalment, malgrat que Millikan volia refutar la teoria d'Albert Einstein, aquests experiments van confirmar plenament la teoria de l'efecte fotoelèctric proposada per Einstein. Dades: $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg. $1\ \text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s.

Dades: $_{4}$Be, $_{5}$B, $_{6}$C, $_{7}$N, $_{8}$O, $_{9}$F, $_{10}$Ne, $_{84}$Po, $_{85}$At, $_{86}$Rn, $_{87}$Fr, $_{88}$Ra, $_{89}$Ac, $_{90}$Th.

Tenim dues ones monocromàtiques, una de $\lambda = 750$ nm, corresponent al color vermell, i una altra de $\lambda = 550$ nm, corresponent al color verd. Dades: La funció de treball del rubidi és $3{,}46 \times 10^{-19}$ J. $N_A = 6{,}022 \times 10^{23}$. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s. $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg.

Si fem servir una cambra de boira, podem identificar diferents partícules qualitativament en funció de les traces que s'observen. En la fotografia adjunta veiem una traça fina i erràtica que es corba menys que els fotoelectrons, la qual cosa indica que es tracta d'un electró generat en una desintegració $\beta$. Els neutrons lliures són inestables i es descomponen emetent radiació $^{0}_{-1}\beta$. [Fotografia d'una cambra de boira amb una traça fina i corbada etiquetada «Traça β».] Dades: $1\ \text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $1\ \text{u} = 1{,}660\,54 \times 10^{-27}$ kg. Masses (en u): neutró 1,008 665; protó 1,007 276; electró $5{,}485\,8 \times 10^{-4}$; antineutrí $\approx 0$.

En un experiment fotoelèctric, il·luminem una superfície metàl·lica amb una llum verda que té una longitud d'ona de 546,1 nm. Observem que el potencial de frenada és de 0,376 V (tensió per la qual desapareix el corrent). Dades: $m_e = 9{,}11 \times 10^{-31}$ kg. $|e| = 1{,}602 \times 10^{-19}$ C. $1\ \text{eV} = 1{,}602 \times 10^{-19}$ J. $c = 3{,}00 \times 10^{8}$ m s⁻¹. $h = 6{,}63 \times 10^{-34}$ J s.