Vibracions i ones: exercicis de selectivitat de Física (Catalunya)

Vibracions i ones — OPCIÓ A Un raspall de dents elèctric es pot fer servir com un oscil·lador harmònic per a generar ones estacionàries en una corda. L'eix oscil·lador del raspall vibra amb una freqüència de 357 Hz. Si lliguem una corda elàstica a l'eix oscil·lador, engeguem el raspall i anem deixant anar corda i jugant amb la tensió que fem amb la mà, anirem observant diferents harmònics. La fotografia mostra la corda vibrant entre la mà i el raspall: es veuen 5 nodes (comptant els dos extrems) i 4 ventres.

Vibracions i ones — OPCIÓ B La fibra òptica ens permet disposar de comunicació per Internet d'alta velocitat a casa. La fibra òptica consisteix en un filament flexible de secció circular a través del qual es transmeten polsos de llum, que es transmeten a còpia de reflectir-se a les parets internes del filament. Un raig de llum, de longitud d'ona en el buit λ₀ = 650 nm, incideix des de l'aire sobre l'extrem d'una fibra òptica i forma un angle φ amb l'eix de la fibra (la figura mostra el raig que entra per l'extrem i arriba al punt P de la interfície amb el recobriment, on forma l'angle límit θ_L amb la normal). L'índex de refracció dins la fibra és n₁ = 1,48. Dades: c = 3,00 × 10⁸ m s⁻¹. n_aire = 1,00.

Vibracions i ones — OPCIÓ A Un elefant es troba en un parc nacional i, en un moment determinat, és observat per dos investigadors amagats en arbres amb l'objectiu de fer un estudi científic. (La figura mostra l'elefant al terra, l'observador 1 a l'esquerra a 15,0 m en horitzontal i a 5,00 m d'altura, i l'observador 2 a la dreta a 20,0 m en horitzontal i a una altura h.) Dades: Velocitat del so en l'aire = 340 m s⁻¹. I₀ = 10⁻¹² W m⁻². Nota: assumiu que el front d'ona és esfèric.

Vibracions i ones — OPCIÓ B S'utilitza la lent d'un escàner per a capturar la imatge d'un full situat a 20,0 cm de la lent. La imatge que es forma en el sensor de l'escàner està invertida i té la mateixa mida que l'objecte.

Vibracions i ones Avui al cinema es projecta una pel·lícula antiga amb el format de súper-8, en què els fotogrames tenen una alçària de 4,00 mm. El projector té una sola lent i es pot variar la posició de la pel·lícula per a focalitzar la imatge a la pantalla. La pantalla és a 16,0 m de la lent del projector i té 2,00 m d'alçària.

Vibracions i ones — OPCIÓ A Al taller de l'institut dissenyem un pèndol amb un suport i un pes que penja d'un fil de longitud L i de massa negligible. Quan prenem mesures del període T d'aquest pèndol en funció de la longitud del fil, obtenim les dades següents: L (m) = 0,20; 0,30; 0,50; 0,80; 1,20 i T (s) = 0,90; 1,08; 1,43; 1,75; 2,20. Dada: el pèndol descriu un moviment harmònic simple de període T = 2π √(L/g).

Vibracions i ones — OPCIÓ B L'Alaitz es troba dalt d'un trampolí situat just a sobre la vora de la piscina i està a punt de llançar-se. En aquest moment observa un objecte al fons de la piscina amb un angle de 40,0° respecte a la vertical. L'alçària del trampolí és de 0,90 metres respecte a la superfície de l'aigua, la profunditat de la piscina és de 2,00 metres i els ulls de l'Alaitz es troben a 1,60 metres respecte al trampolí. (A la figura, x és la distància horitzontal entre la vora de la piscina i l'objecte al fons.) Dades: c = 3,00 × 10⁸ m s⁻¹. n_aire = 1,00. n_aigua = 1,33.

Vibracions i ones · Opció A. En una exposició d'art hi ha una obra que consisteix en una moneda situada a l'interior d'un bloc massís de policarbonat transparent, just al centre de la cara posterior, tal com indica la figura. El bloc té forma d'ortoedre i un índex de refracció d'1,58. Una persona està observant l'obra des del punt mitjà de la cara oposada i arriba una segona persona i se situa a la dreta de la primera. Sorprenentment, no veu la moneda de l'interior del bloc. Dada: índex de refracció de l'aire = 1.

Vibracions i ones · Opció B. Una flauta travessera és un tub metàl·lic obert pels dos extrems que té una longitud de 67,0 cm. El seu so abraça un interval extens de freqüències i és un instrument molt comú en orquestres. Dada: velocitat del so en l'aire = 343 m s⁻¹.

Interferència de dos altaveus Quan dos o més senyals acústics coherents coincideixen en l'espai, les ones es combinen i l'ona resultant és la suma algebraica de les ones individuals. Aquest fenomen es coneix com a interferència. En una experiència d'interferències disposem de dos altaveus connectats a un ordinador i separats entre ells 6,00 m i equidistants de l'ordinador. Ambdós altaveus emeten la mateixa ona harmònica amb una freqüència de 170 Hz i amb la mateixa fase inicial. [Figura: dos altaveus units per una línia horitzontal, amb un ordinador portàtil al mig; per sota, el punt 1, unit a l'altaveu de l'esquerra per la recta R₁ (més llarga) i a l'altaveu de la dreta per la recta R₂ (més curta).] Dada: La velocitat del so en l'aire és de 340 m s⁻¹.

Microscopi de forces atòmiques El microscopi de forces atòmiques (AFM, de l'anglès atomic force microscope) és un instrument que permet crear imatges de la topografia d'una superfície amb una resolució de l'ordre del nanòmetre. Funciona mitjançant una punta afilada que se situa a l'extrem d'una palanca flexible (com la que podem observar a la fotografia de l'esquerra) i que oscil·la verticalment sobre la superfície, mentre es desplaça lateralment per ella. El gràfic de la dreta mostra l'oscil·lació vertical de la punta d'un AFM. [Fotografia: palanca flexible amb una punta piramidal a l'extrem. Gràfic: $y$ (nm) en funció de $t$ (µs), de 0 a 6 µs; sinusoide d'amplitud 100 nm amb màxims ($y = 100$ nm) a $t = 0$, $t = \pi$ µs i $t = 2\pi$ µs, i mínims ($y = -100$ nm) a $t = \pi/2$ µs i $t = 3\pi/2$ µs, marcats amb línies discontínues.] Font: ICMAB (CSIC).

Dos altaveus en fase Dos altaveus estan separats entre si una distància $2d$ i emeten un senyal harmònic i en fase. Produïm el so amb un generador de senyals que podem ajustar entre els 200 i els 400 Hz. La persona A està situada a $d_1 = 5{,}00$ m de l'altaveu 1 i a $d_2 = 8{,}68$ m de l'altaveu 2. Una segona persona B està situada a $d'_1 = 8{,}14$ m de l'altaveu 1 i a $d'_2 = 4{,}00$ m de l'altaveu 2. [Figura: els altaveus 1 (esquerra) i 2 (dreta) separats 2d sobre una recta horitzontal, amb el punt mitjà marcat. La persona A és a l'esquerra, més a prop de l'altaveu 1 (distàncies d₁ i d₂); la persona B és a la dreta, més a prop de l'altaveu 2 (distàncies d′₁ i d′₂).] Nota: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l'espai i que la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques. Dades: $I_0 = 10^{-12}$ W m⁻². Velocitat del so en l'aire: 340 m/s. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

Ull hipermetrop i lents Un ull hipermetrop no és capaç d'enfocar objectes propers a la retina, sinó que els enfoca darrere d'aquesta, i per això els veu borrosos. L'Anna no és capaç d'enfocar bé els objectes que són més a prop de 70 cm i necessita unes ulleres amb lents convergents per a llegir.

Massa penjada d'una molla Una massa de 100 g es fa oscil·lar penjada d'una molla. S'observa que fa 40 oscil·lacions en un minut i que la diferència entre la posició més alta i la més baixa és de 15 cm.

Molla i disc giratori Al laboratori dissenyem un experiment amb dues masses que fan moviments independents. La primera massa és de 0,5 kg i penja d'una molla vertical. La segona massa es troba subjectada a un disc vertical que gira a una velocitat angular de 6,41 rad/s i el centre d'aquesta massa és a una distància de 19 cm del centre del disc. Ambdues masses s'il·luminen lateralment i s'observa que les seves ombres segueixen exactament el mateix moviment harmònic simple. Per a aconseguir-ho, deixem anar des de baix la massa de la molla just a $t = 0$ s, moment en què la massa del disc també passa pel punt més baix de la rotació. [Fotografia: a l'esquerra, un disc metàl·lic vertical amb una massa cilíndrica fixada a prop de la vora; a la dreta, una massa que penja d'una molla vertical. Totes dues es projecten com a ombres sobre una pantalla.]

Els coets de Sant Joan L'Ainhoa està intrigada per saber a quina altura exploten els coets llançats a la revetlla de Sant Joan. Per a poder-ho determinar se situa a una distància de 50 metres del punt on es llancen els coets i enregistra, amb un sonòmetre, un nivell d'intensitat sonora de 100 decibels en l'explosió d'un coet que no s'ha enlairat. Nota: Considereu que les ones sonores es propaguen en les tres dimensions de l'espai i la seva energia es distribueix en superfícies esfèriques. Dades: $I_0 = 10^{-12}$ W m⁻². La velocitat del so en l'aire és de 340 m/s. Superfície esfèrica: $4\pi r^2$.

Gràfica d'un MHS Una massa de 2 kg està unida a una molla i oscil·la amb un moviment harmònic simple. La gràfica següent mostra l'evolució de la posició de la massa en funció del temps. [Gràfica: distància x (m) en funció del temps t (s), de 0 a 9 s. Sinusoide que comença a x = 0 a t = 0 i creix; màxims x ≈ 2,4 m a t = 1 s i t = 5 s; zeros a t = 0, 2, 4, 6 i 8 s; mínims x ≈ −2,4 m a t = 3 s i t = 7 s.]

Ressonància en un tub amb aigua Duem a terme una experiència de ressonància en un tub amb aigua que consisteix a submergir un tub obert pels dos extrems en un recipient que conté aigua, tal com es mostra en la figura. Damunt de l'extrem superior del tub fem vibrar un diapasó, que emet un so de freqüència 442 Hz. La longitud de la columna d'aire ($L$) s'ajusta elevant el tub fora de l'aigua fins a trobar un punt on es produeix la ressonància (se sent una nota intensa). Comencem l'experiència amb tot el tub submergit i observem la primera ressonància quan $L$ = 19,3 cm i la segona ressonància quan $L$ = 58,0 cm. [Figura: un tub vertical subjectat per un suport i parcialment submergit en un recipient amb aigua; el diapasó vibra just a sobre de l'extrem superior del tub; L és la longitud de la columna d'aire entre l'extrem superior del tub i la superfície de l'aigua.] Dades: La velocitat del so a l'aigua és de 1 493 m s⁻¹. La velocitat del so a la glicerina és de 1 904 m s⁻¹.

Mesurar una massa amb una molla

Onades i una boia Des de la platja, observem que la distància entre les crestes de dues onades consecutives és de 4 m. Per altra banda, tot observant una de les boies que limita la zona de bany, comptem que oscil·la 30 vegades en un minut i que el seu desplaçament vertical total, des de la posició més baixa fins al punt més alt, és de 40 cm. Nota: Per determinar la fase inicial considereu que al principi la boia es troba en la posició més alta.

Per a estudiar les característiques d'una molla, hem hagut de mesurar la dependència del seu període d'oscil·lació en funció de la massa que hi està unida. La fricció entre la massa i el terra és negligible. En el gràfic següent representem el període mesurat al quadrat en funció de la massa. La línia correspon a la recta ajustada als punts experimentals. [Gràfic: $T^2$ (s²) en funció de la massa $m$ (kg), de 0 a 1,2 kg. Sis punts experimentals (a 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0 i 1,2 kg) alineats al llarg d'una recta que passa per l'origen i arriba a $T^2 = 0{,}4$ s² per a $m = 1{,}2$ kg.]

La sirena d'una alarma d'un edifici emet una ona sonora de 0,136 m de longitud d'ona, que en l'aire es propaga a una velocitat d'uns 340 m/s. L'ona sonora arriba a un observador que està aturat en un semàfor, segons la direcció de l'eix $x$ en sentit positiu i amb una amplitud $A_0$.

El moviment d'una anguila es pot aproximar al d'una ona harmònica transversal que es propaga des del cap fins a la cua. Per a estudiar-ne el moviment hem de simplificar: no considerem l'aportació al moviment de la resta de músculs del cos, i suposem, simplement, que l'ona es genera al cap de l'anguila, que vibra amb una freqüència de 0,50 Hz i amb una amplitud de 5,00 cm. La distància entre dos punts consecutius del cos de l'anguila que estan en el mateix estat de vibració és de 20,0 cm. [Figura: ona harmònica transversal al llarg de l'eix $x$ (horitzontal) amb l'eix $y$ vertical a l'esquerra; el cap de l'anguila és a l'origen i el cos s'estén cap a la dreta amb forma d'ona sinusoïdal d'unes tres longituds d'ona.]

Per a identificar els instruments musicals es pot utilitzar un espectre de freqüències. A la figura següent es representa l'espectre d'un instrument que es vol identificar. L'oboè és un instrument que té un extrem obert i un extrem tancat que és l'embocadura amb una canya. A l'extrem obert, l'amplitud de la vibració de les molècules és màxima: tenim un ventre. En canvi, a l'altre extrem, el tudell per on es bufa és una canya que comunica pressió a l'aire i impedeix que aquest es pugui moure amb llibertat: és un node. D'altra banda, en un piano les cordes estan pinçades pels dos extrems, és a dir, els dos extrems de la corda són nodes. [Gràfic: espectre de freqüències; eix horitzontal, freqüència (Hz) de 0 a 1 400 aproximadament; eix vertical, amplitud (u.a.) de 0 a 2,0. Hi ha dos pics estrets: un d'amplitud 2,0 a uns 440 Hz i un altre d'amplitud 1,5 a uns 1 320 Hz.] Dades: $I_0 = 10^{-12}$ W m⁻². La velocitat del so en l'aire és de 340 m s⁻¹.

Una corda de 60 cm té els extrems fixats i oscil·la amb una freqüència de 200 Hz en un mode que té quatre nodes: dos nodes als extrems i dos nodes interns. El punt central de la corda oscil·la amb una amplitud de 2 cm. Calculeu:

Una saltadora de 60 kg fa salt de pont (*pònting*) vertical amb una corda elàstica de 30 m de longitud. A partir d'aquest moment, la persona efectua 6 oscil·lacions en 30 s. La distància del punt d'equilibri al punt més alt del moviment oscil·latori són 4 m. Dada: No tingueu en compte les forces de fregament i suposeu que la corda elàstica es comporta com una molla que compleix la llei de Hooke.

Un bloc de massa 2 kg, que inicialment es troba en repòs, està lligat a l'extrem d'una molla de constant elàstica 300 N/m i de longitud natural 30 cm. Per l'altre extrem, la molla està unida a una paret. Desplacem el bloc cap a la dreta fins que la molla assoleix una longitud total de 45 cm i el deixem anar, de manera que el bloc es posa a oscil·lar al voltant de la posició d'equilibri. La fricció entre el terra i el bloc és negligible. [Figura: bloc de 2 kg unit a una molla de $k = 300$ N/m fixada a una paret a l'esquerra; la posició d'equilibri ($x = 0$) és a 30 cm de la paret i la posició inicial, marcada amb un quadrat discontinu a la dreta, és a 45 cm de la paret.]

Magnificat en re major (BWV 243) és una de les grans obres vocals de Johann Sebastian Bach, publicada el 1723 i escrita per a cor a cinc veus i orquestra. La corda d'un violí fa 32,5 cm de llargària i la freqüència fonamental corresponent al re major és de 38,89 Hz. Dada: $I_0 = 10^{-12}$ W m⁻².

La corda d'un violí fa 32 cm de llarg i vibra amb una freqüència fonamental de 196 Hz. Dada: La velocitat del so en l'aire és de 340 m s⁻¹.

Un violinista interpreta un solo durant un concert. De cop i volta, quatre violins més l'acompanyen, tocant amb la mateixa intensitat que el primer. Dada: $I_0 = 10^{-12}$ W m⁻².