Examen selectivitat Matemàtiques II 2026 Setembre (Sèrie 2) — Catalunya

Considereu la funció $f(x)=\dfrac{5x}{x^2+1}$. 1.1. Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims locals. [1 punt] 1.2. Calculeu les equacions de totes les asímptotes d'aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica. [0,75 punts] 1.3. Calculeu l'equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba $y=f(x)$ en el punt d'abscissa $x=2$. [0,75 punts]

Considereu el sistema d'equacions següent, on $k$ és un paràmetre real: $2x+ky+z=3$, $\ -x+2y+2z=1$, $\ x+y+z=2$. 2.1. Discutiu el sistema en funció del paràmetre $k$. [1 punt] 2.2. Resoleu el sistema per a tots els valors de $k$ i comproveu que, per a $k\neq1$, la solució no depèn de $k$. [1 punt] 2.3. Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors. [0,5 punts]

Es vol construir un parc eòlic al Solsonès format per 10 aerogeneradors. L'empresa que els construirà està dissenyant les pales segons l'esquema següent, on $x$ i $f(x)$ estan mesurats en metres (el dibuix no està a escala): les pales són la regió tancada entre les corbes $f(x)=2x^3$ i $g(x)=8x$ (la part ombrejada del gràfic, formada per dos trossos simètrics respecte de l'origen). S'ha calculat que cadascun dels 10 aerogeneradors tindrà una potència de 100 MW. Degut a diversos factors, cadascun té una probabilitat del $10\,\%$ d'estar aturat, independentment de la resta d'aerogeneradors. 3.1. Quina és la probabilitat que s'arribi als 1 000 MW de potència total al parc? [0,75 punts] 3.2. Quina és la probabilitat que la potència total del parc superi els 150 MW? [0,75 punts] 3.3. Calculeu l'àrea de les pales d'un d'aquests aerogeneradors (part ombrejada al gràfic). [1 punt]