Àlgebra lineal: exercicis de selectivitat de Matemàtiques II (Catalunya)

Considereu el sistema d'equacions següent, on $k$ és un paràmetre real: $2x+ky+z=3$, $\ -x+2y+2z=1$, $\ x+y+z=2$. 2.1. Discutiu el sistema en funció del paràmetre $k$. [1 punt] 2.2. Resoleu el sistema per a tots els valors de $k$ i comproveu que, per a $k\neq1$, la solució no depèn de $k$. [1 punt] 2.3. Interpreteu geomètricament el resultat dels apartats anteriors. [0,5 punts]

Considereu el sistema d'equacions lineals següent, que està format per tres plans a l'espai i depèn del paràmetre real $m$: $x+my+z=4$, $\ x+3y+z=5$, $\ mx+y+z=4$. 2.1. Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre $m$. [1 punt] 2.2. Interpreteu geomètricament aquest sistema per a tots els valors del paràmetre $m$ i resoleu-lo, si és possible, per al cas $m=1$. [1 punt] 2.3. Per a $m=1$, és possible afegir una quarta equació de manera que el sistema resultant sigui compatible determinat i tingui com a solució $(x,y,z)=\left(3,\tfrac12,\tfrac12\right)$? Raoneu la resposta. [0,5 punts]

Considereu el sistema d'equacions lineals següent: $\begin{cases} x+3y+z=5 \\ mx+2z=0 \\ my-z=m \end{cases}$

Considereu el sistema d’equacions lineals següent: $\begin{cases} y-z=p+3 \\ p^{2}x-z=5 \\ x-y=3 \end{cases}$

Considereu el sistema d'equacions següent, on $m$ és un paràmetre real: $\begin{cases} x-3y+mz=-2 \\ x+my+2z=3 \\ x+y+2z=m \end{cases}$

Considereu les matrius $P=\begin{pmatrix}2&1&-1\\2&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$, $Q=\begin{pmatrix}2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{pmatrix}$ i $R=\begin{pmatrix}1&2&3\\1&1&1\\3&2&1\end{pmatrix}$.

Considereu el sistema d’equacions següent: $\begin{cases} 4x + 2y - z = 4 \\ x - y + kz = 3 \\ 3x + 3y = 1 \end{cases}$ on $k$ és un paràmetre real.

Siguin $A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$ i la matriu identitat d'ordre dos $I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$.

Sigui el sistema d'equacions lineals $\begin{cases} 2x+y=1+z \\ my+z=2-x \\ mz+3=3x+y \end{cases}$, en què $m$ és un nombre real.

Considereu el sistema d'equacions lineals $\begin{cases} x-y+kz=-1 \\ x+ky+z=3 \\ 2x+(k-1)y+2z=2 \end{cases}$, en què $k$ és un paràmetre real.

Considereu la família $S$ de matrius de la forma $\begin{pmatrix} a & b \\ b & a \end{pmatrix}$, en què $a, b\in\mathbb{R}$.

Considereu les dues matrius següents: $A=\begin{pmatrix}2&-3&-5\\-1&4&5\\1&-3&-4\end{pmatrix}$, $B=\begin{pmatrix}2&2&0\\-1&-1&0\\1&2&1\end{pmatrix}$.

Sigui el sistema d'equacions lineals següent, en què $\lambda$ és un paràmetre real: $\begin{cases} x+2\lambda y+(2+\lambda)z=0 \\ (2+\lambda)x+y+2\lambda z=3 \\ 2\lambda x+(2+\lambda)y+z=-3 \end{cases}$