Anàlisi: exercicis de selectivitat de Matemàtiques II (Catalunya)

Considereu la funció $f(x)=\dfrac{5x}{x^2+1}$. 1.1. Estudieu-ne el domini i els intervals de creixement i decreixement, així com els possibles màxims i mínims locals. [1 punt] 1.2. Calculeu les equacions de totes les asímptotes d'aquesta funció (si en té) i dibuixeu un esbós de la seva gràfica. [0,75 punts] 1.3. Calculeu l'equació de la recta normal (és a dir, la recta perpendicular a la tangent) a la corba $y=f(x)$ en el punt d'abscissa $x=2$. [0,75 punts]

OPCIÓ A. L'Aina vol construir una capsa de cartró amb forma de prisma rectangular amb tapa, per guardar-hi la tauleta i el carregador. L'Aina construirà la capsa a partir d'un cartró rectangular de $80\,\mathrm{cm}\times50\,\mathrm{cm}$. A la figura del desplegament de la capsa (80 cm de llarg i 50 cm d'ample), les zones ratllades, de $x$ cm d'amplada, són les parts que l'Aina retallarà i retirarà per tal de poder-la muntar. 4.1. Comproveu que el volum de la capsa resultant és $V(x)=2x^3-130x^2+2000x$, on $x$ és la longitud del costat del quadrat que cal retallar dels cantons per a poder-la muntar. [1 punt] 4.2. Calculeu les dimensions de la capsa per tal que el seu volum sigui màxim. Quin és aquest volum màxim? [1,5 punts]

Considereu la funció definida a trossos següent: $f(x)=\begin{cases}5e^{2x}&x\le0\\(x+m)^2+1&0<x<2\\1&2\le x\end{cases}$, on $m$ és un paràmetre real. 1.1. Determineu els valors de $m$ que fan que la funció $f(x)$ sigui contínua en tot el seu domini. Justifiqueu la resposta. [1 punt] 1.2. Feu un esbós de la gràfica de $y=f(x)$ per al cas $m=-2$, i calculeu l'àrea delimitada per aquesta gràfica, l'eix $OX$ i les rectes $x=-1$ i $x=3$. [1 punt] 1.3. Per a $m=-2$, trobeu un punt on la recta tangent a $y=f(x)$ sigui paral·lela a $y=-2x$. Calculeu l'equació d'aquesta recta tangent. [0,5 punts]

OPCIÓ A. L'alcalde d'un poble de Catalunya encarrega a l'arquitecte municipal el disseny d'un parc infantil que es construirà en un terreny públic. Per a complir la normativa vigent, en el parc hi ha d'haver dos espais ben delimitats: un per a una boca de reg —el qual, segons l'arquitecte, ha de tenir forma circular—, i un altre per a una caseta on es guardin les eines de manteniment —el qual ha de tenir forma quadrada. Per motius estètics, l'arquitecte vol delimitar cadascun d'aquests dos espais amb una barana de forja. Sabent que les dues baranes mesuren exactament $10\,$m de longitud en total, quina mida ha de tenir la barana de cada espai per tal que la suma de les superfícies dels dos espais sigui la més petita possible? Quina és aquesta superfície mínima? [2,5 punts]

Una família vol comprar un terreny per a fer-s'hi una casa envoltada de penya-segats amb vistes al mar. En aquella zona de la costa, els penya-segats segueixen les rectes $y=0$ i $y=3x$. A més, la família vol que el terreny sigui triangular i que el tercer costat del triangle passi pel punt $P=(1,1)$.

Un vidrier està reparant un dels vitralls de la Sagrada Família. Un dels costats de la peça segueix la funció $y=3\sin(x/4)$ i un altre segueix la funció $y=3\cos(x/4)$, on $x$ i $y$ estan expressats en metres. El vitrall és la regió tancada entre les dues corbes des de l'origen de coordenades $A$ fins al seu punt de tall $C$, delimitada també pel punt $B$ on la segona corba talla l'eix d'ordenades.

Considereu la funció $f(x)=\frac{x^{2}-2x}{x-1}$.

La vela major d'un veler té forma semiparabòlica i està delimitada per les gràfiques de $f(x)=-x^2+25$, $y=0$ i $x=0$. Està dividida per la recta $y=9$. Calculeu el cost total del material si la part superior (niló) costa $50€/u^2$ i la inferior (polièster) costa $70€/u^2$. [2,5 punts]

Considereu la funció polinòmica $f(x)=3x^{13}+5x^{3}+2$.

La classe de l'Èlia ha dissenyat un logotip per a pintar-lo a la paret de l'institut. La corba que passa pel punt $A$ és $y=f(x)$, amb $f(x)=x^{3}-4x^{2}+4x$, i la que passa pels punts $B$, $C=(3,3)$ i $D$ és $y=g(x)$, amb $g(x)=-\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+4$.

Per a cada punt $(x,y)$ de la corba $y=e^{-2x}$, amb $x>0$ i $y>0$, considereu el rectangle amb vèrtexs als punts $(0,0)$, $(x,0)$, $(0,y)$ i $(x,y)$.

Considereu la funció $f(x)=-2+10\,(x-1)\ln x$, definida per a $x>0$.

Considereu les paràboles $y=f_a(x)$, amb $f_a(x)=ax^2+2x+5-a$, on $a$ és un paràmetre real.

En Carles vol construir un decorat per a l'obra de teatre de final de curs en forma d'un rectangle i dos semicercles, tal com es mostra a la figura següent:

Considereu la funció $f(x)=2\dfrac{\ln x}{x}$, definida per a $x>0$.

En Joan troba un esbós que descriu un terreny de regadiu. La corba de la gràfica és f(x) = -x^3 + 7x^2 - 6x + 5.

Volem construir un petit cobert de fusta de 6 m³ de volum, en forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d’una casa, per a guardar-hi llenya. Només cal construir, per tant, el sostre i tres parets (la paret del fons del cobert és la de la casa a la qual està adossat). A més, volem que el cobert mesuri el triple d’amplària que de fondària. Cada metre quadrat de paret té un cost de construcció de 30 € i el sostre costa 50 € per metre quadrat. Un cop construït el cobert, afegir-hi una porta té un cost fix de 35 €.

Sigui la funció $f(x)=\frac{1}{x}$.

Sigui la funció $f(x)$ definida per $f(x)=-3x+e^{2x^{3}-1}$.

Volem construir una peça metàl·lica que tingui per secció un trapezi isòsceles amb la base superior tres vegades més llarga que la base inferior. Els altres costats del trapezi fan 10 mm.

Considereu les funcions $f(x)=-x^{2}+x+6$ i $g(x)=-9x+3x^{2}$.

En una carretera principal hi trobem el poble A. A 12 km del poble A, hi ha un encreuament O amb una carretera secundària que talla perpendicularment la carretera principal. A 9 km de l'encreuament, a la carretera secundària, hi trobem el poble B. Es vol construir una torre de comunicacions T en un punt de la carretera principal situat entre el poble A i l'encreuament O. Aquesta torre ha d'estar connectada amb cadascun dels dos pobles en línia recta per cable. Sabem que instal·lar el cable entre la torre T i el poble B té un preu de 250 €/km i, en canvi, instal·lar el cable entre la torre T i el poble A té un preu de 125 €/km. Determineu a quina distància de l'encreuament O a la carretera principal cal situar la torre T perquè el preu del cablejat sigui mínim i quin serà el valor d'aquest preu mínim. [2,5 punts]

Sigui la funció $f(x)=\dfrac{ax^{2}+x+b}{x^{2}+1}$.

Calculeu els coeficients $a$, $b$, $c$ i $d$ de la funció $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció $f$ en el punt d'inflexió $(1,0)$ és $y=-3x+3$ i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa $x=0$. [2,5 punts]

Sigui $f'(x)=\begin{cases}x-1, & \text{si } x\leq 2 \\ \dfrac{1}{x-1}, & \text{si } x>2\end{cases}$ la funció derivada d'una funció derivable $f(x)$ que passa pel punt $A=(0,3)$.

La Núria té un jardí rectangular i vol fer-hi un tancat (rectangular o quadrat) de 8 m² per al seu gos. Ha pensat de posar el tancat tocant al mur del jardí, per estalviar-se així un dels quatre costats. El preu de la tanca que vol fer servir és de 2,5 €/m.