Geometria: exercicis de selectivitat de Matemàtiques II (Catalunya)

OPCIÓ B. L'Aina vol fer un croquis en 3D de la capsa utilitzant un programa informàtic. Per a començar, situa un costat de la tapa des del vèrtex $A(1,1,1)$ fins al vèrtex $B(4,1,5)$, i l'altre costat de la tapa des del vèrtex $A$ fins al vèrtex $C(1,10,1)$. 4.1. Quines són les coordenades del quart vèrtex de la tapa? Calculeu les longituds dels dos costats de la tapa. [1 punt] 4.2. Sabent que els altres quatre vèrtexs de la capsa estan situats en el pla $\pi:-4x+3z=24$, calculeu les coordenades d'un d'aquests vèrtexs (qualsevol) i l'alçària de la capsa. [1,5 punts]

OPCIÓ B. Considereu els punts de l'espai $P=(1,0,-1)$, $Q=(3,-2,0)$ i $R=(1,1,1)$. 4.1. Calculeu l'equació del pla que conté els punts $P$, $Q$ i $R$. [0,75 punts] 4.2. Comproveu que l'àrea del triangle $\Delta PQR$ és $\dfrac{3\sqrt5}{2}\,u^2$. [0,75 punts] 4.3. Determineu les condicions que han de complir les coordenades d'un quart punt $S=(x,y,z)$ per tal que $P$, $Q$, $R$ i $S$ formin un tetraedre de volum 1. (El volum del tetraedre format pels punts $P,Q,R$ i $S$ és: $\mathrm{volum}(PQRS)=\dfrac{\text{àrea}(\Delta PQR)\cdot\text{altura}}{3}$.) [1 punt]

Considereu el pla $\pi: 2x-y+z=5$ i el punt $P=(0,1,3)$.

Considereu el pla π d’equació x+y=0. a) Calculeu l’equació del pla π' que és perpendicular a π i conté els punts P=(1,-1,2) i Q=(3,-3,6). b) Calculeu l’equació paramètrica de la recta continguda en π' i que conté els punts de π' a la mateixa distància de P que de Q.

Considereu el punt $P=(1,3,0)$ i el pla $\pi$ d'equació $x+2y-2z=-7$.

Considereu les rectes $r:\dfrac{x-5}{4}=\dfrac{y-4}{3}=\dfrac{z-3}{-1}$ i $s:\begin{cases}x=4+2k\\y=3+k\\z=-1\end{cases}$.

Considereu els punts $A = (1, 2, 3)$ i $B = (-3, -2, 3)$.

Siguin $r_1$ i $r_2$ les rectes definides per $r_1: x-1=y=-z$ i $r_2: x=y=z$, respectivament.

Considereu les rectes a l'espai $r: x=-y=z+m$ i $s: \begin{cases} x+y=1 \\ x-z=0 \end{cases}$, en què $m$ és un paràmetre real.

Siguin els plans $\pi_1$ i $\pi_2$, determinats respectivament per les equacions $\pi_1: x+y=3$ i $\pi_2: x-z=-2$.