Mecanismes i màquines: exercicis de selectivitat de Tecnologia i enginyeria (Catalunya)

Un vehicle està pujant un petit pendent a una velocitat v. En aquesta situació, totes les resistències que dificulten l'avanç del vehicle (pes, aerodinàmica, rodolament…) es modelitzen com una força $F=1\,800$ N en sentit oposat al seu avanç. El motor de l'automòbil és de benzina, té un rendiment tèrmic $\eta_{mot}=0{,}2$ i, en les condicions descrites, subministra una potència $P_{subm}=67$ kW girant a $n_{mot}=5\,000$ min⁻¹. La transmissió té un rendiment $\eta_{trans}=0{,}9$, les rodes del vehicle tenen un radi $r=0{,}4$ m i el poder calorífic de la benzina és $p_c=42$ MJ/kg. En aquestes condicions, determineu: [2,5 punts en total]

Un muntacàrregues és accionat per un motor reductor. La relació de transmissió del reductor és $\tau=\omega_{red}/\omega_{mot}=0{,}01$. El motor gira a $n_{mot}=1\,800$ min⁻¹ i l'aparell eleva una càrrega de massa $m=2\,200$ kg a una velocitat constant de $v=0{,}2$ m/s. El motor es connecta a una tensió $U=230$ V i consumeix una potència $P_{elèc}=6{,}2$ kW. [2,5 punts en total]

Un mesclador de productes pulverulents és una màquina molt emprada a les indústries química, agroalimentària i farmacèutica. El mesclador consisteix en un motor que acciona un reductor. La sortida del reductor es connecta a una aspa en forma d'hèlix que gira verticalment i barreja els productes d'un dipòsit. En les condicions d'estudi, el motor gira a $n_{mot}=1\,430$ min⁻¹; l'hèlix, a $n_{hèl}=40$ min⁻¹, i el reductor té un rendiment $\eta=0{,}7$. Durant la fase de servei, l'hèlix gira a velocitat constant $\omega_{hèl}$ i el parell que cal aplicar a l'hèlix per a fer la barreja depèn de la velocitat de gir: $\Gamma_{hèl}=k\,\omega_{hèl}$, amb $\omega_{hèl}$ en rad/s i $k=105$ N m s. Cal seleccionar un motor d'entre aquests tres: Motor A (parell nominal 14,7 N m; potència nominal 2,2 kW), Motor B (18 N m; 2,4 kW), Motor C (20 N m; 2,8 kW). [2,5 punts en total]

La figura mostra l'esquema d'una grua hospitalària que serveix per a aixecar i traslladar pacients. La barra ABC, de longitud 3L (AB = L, BC = 2L, L = 300 mm), està articulada amb l'estructura base al punt A i és actuada per un cilindre hidràulic al punt B. Al punt C, per mitjà d'un cable, s'hi subjecta el pacient, de massa $m=85$ kg, que té el seu centre d'inèrcia a G. La resta d'elements del sistema són de massa negligible. Es vol dissenyar com ha de ser l'articulació A perquè pugui suportar les sol·licitacions quan el sistema es troba en equilibri en la configuració $\varphi=30^\circ$ (inclinació de la barra) i $\alpha=75^\circ$ (inclinació del cilindre), totes dues respecte de l'horitzontal ($g=9{,}807$ m/s²). [2,5 punts en total]

La figura mostra una maqueta didàctica per a fer assajos. La guia homogènia de fusta OC, de longitud $l=1$ m, està articulada a la paret (punt O) i té una massa $m_{fusta}=0{,}75$ kg. El tensor AB, que forma un angle amb l'horitzontal $\varphi=30^\circ$, manté el sistema en equilibri. La distància OB és $d=0{,}3$ m. El ganxo es pot desplaçar per la guia OBC i està preparat per a penjar-hi una ampolla de $V=2$ L d'aigua, a una distància $x$ de la paret. El tensor AB, que és un fil de cotó, té un diàmetre $d_f=1{,}4$ mm i una resistència a la tracció $\sigma=80$ MPa. Es tracta de determinar a quina distància màxima de la paret es pot penjar l'ampolla d'aigua per tal que no es trenqui el cable de cotó ($g=9{,}807$ m/s²). [2,5 punts en total]

La figura mostra un esquema d'un elevador de taller de dues columnes. Les dues columnes són iguals, i dins de cadascuna d'elles hi ha una transmissió cargol-femella. La femella és solidària als braços que sostenen el vehicle. A la part superior de la columna se situa un motor que per mitjà d'un reductor d'engranatges fa girar el cargol situat a l'interior de la columna, que fa pujar o baixar la femella. El moviment dels dos motors està sincronitzat perquè els braços tinguin el mateix moviment. L'alçada màxima d'elevació des de la posició més baixa dels braços és $h=1{,}8$ m; la massa que suporta cada columna és $m=1\,900$ kg; el cargol té un pas de rosca de 7 mm per volta (el cotxe s'eleva 7 mm per cada volta del cargol), i el conjunt del sistema té un rendiment $\eta=0{,}4$. Volem determinar la potència elèctrica d'un motor i dissenyar el reductor perquè quan el motor giri a $n=1\,420$ min⁻¹ el temps d'elevació per a arribar a l'alçada màxima sigui $t=45$ s. [2,5 punts en total]

La figura mostra l'esquema d'un prototip de cadena de transmissió d'una motocicleta de competició amb una marxa engranada. Disposa de 6 rodes dentades de $z_1=23$, $z_2=57$, $z_3=16$, $z_4=33$, $z_5=18$ i $z_6=38$ dents. [Figura: el motor fa girar la roda dentada $z_1$, que engrana amb $z_2$; $z_3$ és solidària a $z_2$ (mateix eix) i engrana amb $z_4$; $z_5$ és solidària a $z_4$ i engrana amb $z_6$, que va al mateix eix que la roda de la moto.] El motor té una cilindrada $C=250$ cm³, el rendiment de la transmissió és $\eta=0{,}9$ i el diàmetre de la roda motriu de la moto és $d=0{,}6$ m. S'estudia el comportament de la motocicleta quan el motor gira a $n_{mot}=4\,000$ min⁻¹ i proporciona una potència $P_{mot}=15$ kW. Determineu: [2,5 punts en total]

Una cistella de bàsquet és solidària a una barra homogènia OC de longitud $4l$. La massa total del conjunt és $m=100$ kg i el seu centre d'inèrcia es troba al punt G. La barra està articulada al sostre en el punt O. Per a plegar i desplegar la cistella s'utilitza un mecanisme de tambor. Un cable amb un extrem fix a la barra s'enrotlla al tambor seguint el recorregut que es mostra a la figura. El rendiment del motor és $\eta=0{,}8$. [Figura: la barra OC penja inclinada des de l'articulació O del sostre, formant un angle $\varphi$ amb el sostre; està dividida en quatre trams iguals de longitud $l=1$ m; G és a $3l$ d'O i la cistella és a l'extrem C. Un cable va des d'un punt de la barra fins a una politja P del sostre i d'allà fins al tambor. Dades: $m=100$ kg, $l=1$ m.] S'estudia la maniobra de plegat de la cistella en el tram en què l'angle entre el sostre i la barra passa de $\varphi_1=45^\circ$ a $\varphi_2=15^\circ$. En aquest tram, la velocitat angular de la barra és constant i té un valor $\omega=0{,}1745$ rad/s en sentit antihorari. Determineu: [2,5 punts en total]

La figura mostra una persona amb els braços estirats sostenint dos pesos (un a l'extrem de cada braç). També inclou l'esquema simplificat d'un dels braços per a fer-ne l'anàlisi estàtica. El punt O representa l'articulació de l'espatlla i $F_m$ és la força que fa el múscul deltoide. El múscul està inserit al punt Q i la seva línia d'acció forma un angle $\theta=20^\circ$ respecte a l'horitzontal. El sistema està en equilibri. La massa del braç és $m_b=5$ kg i el seu centre d'inèrcia es troba al punt G; el pes té una massa $m_p=2$ kg i el seu centre d'inèrcia és el punt P. [Figura: a dalt, una persona amb els braços en creu sostenint un pes a cada mà. A sota, l'esquema del braç: una barra horitzontal articulada a l'espatlla O (a l'esquerra); el múscul s'insereix a Q, a una distància $a$ d'O, i la força $F_m$ apunta cap amunt i cap a l'esquerra, formant $\theta=20^\circ$ amb l'horitzontal; G és a una distància $b$ d'O i P (el pes) a una distància $c$. Dades: $a=100$ mm, $b=240$ mm, $c=600$ mm, $m_b=5$ kg, $m_p=2$ kg, $\theta=20^\circ$.] [2,5 punts en total]

Una persona té un patinet elèctric que utilitza una bateria ideal de tensió $U=24$ V i energia $E_{bat}=250$ W h per a alimentar un motor de rendiment $\eta_{mot}=0{,}85$. La roda motriu del patinet, de diàmetre $d_{roda}=140$ mm, està connectada directament a l'eix de sortida del motor. En les condicions d'estudi, la persona i el patinet tenen una massa conjunta $m=70$ kg i recorren $s=2$ km a velocitat constant $v=8$ km/h per una pujada en què l'angle que forma el perfil del carrer amb l'horitzontal és $\alpha=7^\circ$. A l'inici del trajecte, la bateria està totalment carregada. Si totes les pèrdues diferents a les associades al rendiment del motor es poden negligir, determineu: [2,5 punts en total]

Es vol estudiar la força necessària que ha de fer el múscul tibial anterior per tal de garantir que la planta del peu es trobi en posició horitzontal quan es manté elevat sense tocar a terra. La figura mostra un esquema del peu en aquesta posició. El centre de l'articulació del turmell és el punt O, que es considera fix. El peu, que s'ha representat amb el triangle OPT, té el centre d'inèrcia al punt G i una massa $m=2{,}2$ kg. El múscul tibial anterior s'insereix al punt Q i fa una força $F_m$. El seu braç de moment respecte a O (distància entre la línia d'acció de la força i el punt O) és $a=30$ mm i la seva línia d'acció forma un angle $\varphi=9^\circ$ respecte a la vertical. [Figura: a l'esquerra, el peu dins la cama, amb el turmell O, el punt d'inserció Q del tibial anterior una mica a la dreta i per sota d'O, el centre d'inèrcia G, el taló T i la punta P. A la dreta, l'esquema: el triangle OPT (base TP horitzontal, vèrtex O a dalt), amb O articulat a la paret; la força $F_m$ s'aplica a Q, dirigida cap amunt i cap a l'esquerra, formant $\varphi=9^\circ$ amb la vertical, amb braç $a$ respecte d'O; G és a una distància horitzontal $b$ a la dreta d'O, i $c$ és l'altura del triangle. Dades: $a=30$ mm, $b=35$ mm, $c=40$ mm, $m=2{,}2$ kg, $\varphi=9^\circ$.] Per a aquesta posició estàtica: [2,5 punts en total]

Una persona asseguda en una cadira de rodes elèctrica avança a una velocitat constant $v=4$ km/h per un pendent ascendent del 10 %. La massa del conjunt format per la persona i la cadira és $m=240$ kg. La cadira té dues rodes motrius de diàmetre $d=300$ mm amb un motor reductor independent cadascuna. En la situació d'estudi, la cadira avança en línia recta, els dos motors consumeixen la mateixa potència i les rodes no llisquen. El rendiment dels motors reductors és $\eta=0{,}79$ i la fricció amb l'aire es considera negligible. Determineu: [2,5 punts en total]

Una cadira de rodes elèctrica experimental està sensoritzada per a estudiar-ne els consums elèctrics. Disposa d'una bateria d'ió liti de tensió $U=36$ V i energia $E_{bat}=240$ W h que alimenta un motor reductor de rendiment $\eta=0{,}72$. En les condicions d'estudi, la persona i la cadira tenen una massa conjunta $m=130$ kg i avancen per una pujada on l'angle que forma el perfil del carrer amb l'horitzontal és $\alpha=8^\circ$. En l'estudi, la cadira puja a dues velocitats diferents, $v_1$ i $v_2$, i les potències consumides pel motor són $P_1=109{,}5$ W i $P_2=650{,}3$ W, respectivament. Determineu: [2,5 punts en total]

Una cistella de bàsquet de massa $m_c=45$ kg és solidària a una barra homogènia OBC de longitud $2l=4$ m i massa $m_b=60$ kg. El punt O està articulat al sostre. L'angle entre el sostre i la barra està comprès entre $15^\circ\le\varphi\le45^\circ$. Per a plegar i desplegar la cistella s'utilitza un mecanisme de tambor, de diàmetre $d=250$ mm, en què un motor enrotlla al tambor un cable que hi té l'extrem fixat. El cable passa per una politja situada al sostre al punt P, de diàmetre negligible, i l'altre extrem està fixat al punt mitjà de la barra OBC (punt B). El centre d'inèrcia de la cistella es troba al punt C. En la posició desplegada, $\varphi=45^\circ$, el taulell es troba al pla vertical i el cable BP és perpendicular a la barra OBC. [Figura: la barra OBC penja inclinada des de l'articulació O del sostre, formant un angle $\varphi$ amb el sostre; B és al mig (a una distància $l$ d'O) i la cistella, de massa $m_c$, a l'extrem C. El cable va de B a la politja P del sostre i d'allà al tambor. Dades: $m_b=60$ kg, $m_c=45$ kg, $l=2$ m, $d=250$ mm.] [2,5 punts en total]

Cal seleccionar un cilindre hidràulic comercial d'efecte simple per a elevar contenidors. El cilindre s'ha de connectar a una bomba d'oli que subministra un cabal constant $q=3$ m³/h i una pressió màxima $p_{màx}=20$ MPa. Es demana que, en aquestes condicions, el cilindre sigui capaç de fer una força $F=65\,000$ N en la seva cursa d'avanç (extensió del cilindre). Un fabricant de cilindres hidràulics facilita 10 models amb els valors de diàmetre interior, $d_{int}$, i diàmetre de tija, $d_{tija}$, següents (en mm): M1: 32 / 20; M2: 40 / 25; M3: 50 / 30; M4: 60 / 30; M5: 70 / 40; M6: 80 / 40; M7: 80 / 50; M8: 90 / 50; M9: 100 / 50; M10: 120 / 70. Determineu: a) El model més petit que compleix les especificacions. [0,5 punts] Amb el cilindre escollit, i sabent que el sistema avança a velocitat constant, determineu: b) La pressió $p_0$ que haurà de subministrar la bomba. [0,5 punts] c) La velocitat de la tija, $v_{tija}$, i la potència que desenvolupa el cilindre, $P_{cil}$. [1 punt] d) La tensió normal a compressió de la tija, $\sigma$. [0,5 punts]

Una pantalla de projecció té una massa $m=2$ kg a la part inferior per a mantenir-la sempre tibada. Un motor reductor de rendiment $\eta_{mot}=0{,}9$ és l'encarregat de recollir la pantalla en el corró de diàmetre $d=250$ mm, que es troba articulat amb el sostre al punt P. [Figura: el corró P, de diàmetre d, penja del sostre; la pantalla baixa verticalment fins a la massa m, que es troba a una altura h del terra.] El punt inferior de la pantalla es desplaça verticalment des d'una altura $h_1=0{,}3$ m fins a $h_2=2$ m en $t=8$ s, a velocitat constant. Si la massa de la resta d'elements és negligible, determineu: [2,5 punts en total]

La figura mostra un esquema simplificat d'una grua per a elevar caixes de fruita. La barra OBC, de longitud $2l=4$ m (essent B el seu punt mitjà), es troba articulada al terra al punt O. A l'extrem C s'hi pengen 3 caixes de fruita de 25 kg cadascuna ($m=75$ kg). La massa de la resta d'elements és negligible. La barra es mou mitjançant un cilindre hidràulic de diàmetre interior $d_{int}=40$ mm, que es troba articulat a P i a B. Els punts O i P es troben sobre la mateixa vertical a una distància $l=2$ m. [Figura: la barra OBC surt de l'articulació O cap amunt i cap a l'esquerra, formant un angle $\varphi$ amb l'horitzontal; la càrrega m penja de l'extrem C. El cilindre hidràulic va de l'articulació P (a terra, una distància l per sota d'O) fins al punt mitjà B de la barra, i forma un angle $\alpha$ amb la barra a B. Dades: $m=75$ kg, $l=2$ m, $d_{int}=40$ mm.] El cilindre permet modificar la coordenada $\varphi$, que pren valors entre $0^\circ<\varphi<65^\circ$. [2,5 punts en total]

Una espremedora domèstica per a fer suc de taronja està formada per un motor elèctric de corrent continu d'imants permanents i un reductor d'engranatges, la sortida del qual fa girar la peça en forma de con que permet extreure suc de les taronges. El parell del motor és donat per l'expressió $\Gamma_{mot}=(0{,}08\,U-0{,}01\,\omega)$ N m, en què $U=24$ V és la tensió d'alimentació del motor i $\omega$ és la seva velocitat angular (en rad/s). La sortida del motor està connectada a l'entrada del reductor. Aquest està format per un pinyó de $z_p=9$ dents que engrana amb una roda dentada de $z_r=62$ dents. a) Determineu la relació de transmissió $\tau=\omega_{sortida}/\omega_{entrada}$ del reductor. [0,5 punts] b) Dibuixeu, indicant les escales, la corba característica parell-velocitat del motor i determineu-ne la velocitat de gir màxima, $n_{màx}$. [0,5 punts] En règim nominal, el motor gira a $n_{mot}=1\,000$ min⁻¹ i té un rendiment $\eta=0{,}55$. Per a aquesta situació, determineu: c) La intensitat $I$ que circula pel motor. [1 punt] d) La velocitat angular $\omega_{con}$ de la peça en forma de con que extreu el suc de les taronges. [0,5 punts]